利用函数凹凸性，证明不等式？

Question

如题所述

Answer 1

令F(x)=1+xln[x+√(1+x^2)]-√(1+x^2)

f1(x)=ln[f2(x)]

f2(x)=x+√(1+x^2)

f3(x)=√(1+x^2)

f4(x)=x

F(x)求导过程

因为F'(x)=ln[x+√(1+x^2)]，所以要证明F(x)>0即证明f2(x)>1。因为x>0，所以f'2(x)>0，即f2(x)在(0，+∞)上是增函数。又因为f2(0)=1,所以f2(x)>1，即F(x)>0。

追问

用凹凸性啊

追答

因为，F"(x)=1/√(1+x^2)>0，所以F(x)是凹函数。

又因为，F(0)=0，所以x>0时F(x)> 0

Answer 2

x>0，可三角换元脱根号，令x=tanu，u∈(0.π/2)，
即证1+tanuln(tanu+secu)>secu
令f(u)=1+tanuln(tanu+secu)－secu
f'(u)=tanusecu+sec²uln(tanu+secu)－tanusecu
=sec²uln(tanu+secu)
令g(u)=ln(tanu+secu)，则g'(u)=secu>0
故g(u)单调递增，g(u)>g(0)=0
故f'(u)≥0，f(u)单调递增，f(u)>f(0)=0
得证追问

题目要求用凹凸性

追答

那就求导呗，凹凸性也不过是求个二阶导就够了

追问

怎么证？

Answer 3

看哪变量求导
f'(u)=f''(u)u',x求导(ux函数)
y'求导=y'',x求导(没复合)
说,f'(u)u求导,f''(u)
f'(u)x求导,f''(u)u'追问

题目要求用凹凸性，