线性代数: 为什么这个矩阵可以对角化

Question

矩阵对角化，前提是不是特征值不能有相同的吗? 否则特征向量有相同的，特征向量矩阵就不可逆了，没法对角化。

那么，单位矩阵E呢? 特征方程|E-LamdaE|=0，两个解都是1，也就是特征值有两个1，然后求解其次线性方程组(E-LamdaE)x=0的解，发现0=0，任意解。

也就是E可以被任意可逆矩阵P得到P(-1)E(P)=E，结论是显然的。

问题是：为什么E的特征值有重复，特征向量解不出任意解，仍然是一个"可被对角化"的矩阵? 这个和我的第一话有冲突，那么第一句话是错的？还是E就是一个例外?

谢谢！

Answer 1

矩阵对角化，前提是不是特征值不能有相同的吗? 否则特征向量有相同的，特征向量矩阵就不可逆了，没法对角化。

答：你的这种说法错误！不是说特征值相同就不能对角化，而是：
定理：如果矩阵有n个线性无关的特征向量，则矩阵可对角化
也就是说：只要重特征值有重根数的线性无关向量，那么特也可以对角化（不同特征值，对应的特征项向量一定线性无关）

那么，单位矩阵E呢? 特征方程|E-LamdaE|=0，两个解都是1，也就是特征值有两个1，然后求解其次线性方程组(E-LamdaE)x=0的解，发现0=0，任意解。
也就是E可以被任意可逆矩阵P得到P(-1)E(P)=E，结论是显然的。
问题是：为什么E的特征值有重复，特征向量解不出任意解，仍然是一个"可被对角化"的矩阵? 这个和我的第一话有冲突，那么第一句话是错的？还是E就是一个例外?

答
因为E的特征值为1，而(E-LamdaE)x=0的解，有n个线性无关的解，即有n个线性无关的特征向量，那么就可以对角化，而不是什么特例的说法！

Answer 2

首先，这个E的特征值是N重的，即一个N*N的矩阵有N个特征值
另外，矩阵对角化的前提是特征值要不相同？我从来没有听说过……