已知概率密度函数fxy(x,y)=10, 如何求解x的边缘密度函数

Question

概率密度函数是，fx,y(x,y)=10，底面是我的支持域，由y=0，y=-x+1和y=1/4x组成一个三角形，然后0<=x<=1-y, 0<=y<=1/5, x+y<=1, y<=x*1/4。然后需要用积分y的方法得到x的边缘密度函数。

Answer 1

分段积分即可

Answer 2

边缘密度函数是指在二维随机变量中，其中一个变量的概率分布。在这种情况下，我们想要找到关于 x 的边际密度函数，也就是当 y 固定时，x 的概率分布。
给定 f(x,y) = 10，我们可以使用积分来计算边际密度函数。
首先，考虑 x 的范围。由于没有给出具体的范围，我们假设 x 和 y 都在实数集上取值。
对于 x 的边际密度函数，我们需要将 y 的贡献从联合密度函数中移除。这意味着我们需要对 y 进行积分，从负无穷到正无穷。
设 g(x) 为 x 的边际密度函数，则有：
g(x) = ∫ (−∞, +∞) f(x, y) dy
代入已知的 f(x,y) = 10，得到：
g(x) = ∫ (-∞, +∞) 10 dy
这个积分的结果是 10 乘以 y 从 -∞ 到 +∞ 的积分，即：
g(x) = 10 × [y]|(-∞,+∞)
但是，[y]|(-∞,+∞) 的值是未定义的，因为它在整个实数轴上积分。这说明我们不能仅仅通过给定的信息来计算 x 的边际密度函数。
在实际问题中，我们需要更多的信息，比如 x 和 y 的关系，或者 x 和 y 的独立性，才能计算边际密度函数。