积分分求体积

Question

如题所述

Answer 1

题目有点问题：要求V(a)的最值，a应该为闭区间，而不是开区间。假设0=<a<=1，解题如下：
说明：^——表示次方
解：y=x^2与y=a^2交点：(a,√a)
y=x^2与x=1交点：(1,1)
V1(a)=∫(0,a)π(a^4-x^4)dx
=π(a^4x-1/5x^5)|(0,a)
=π[(a^4·a-1/5a^5)-(a^4·0-1/5·0^5)]
=4/5πa^5
V2(a)=∫(a,1)π(x^4-a^4)dx
=π(1/5x^5-a^4x)|(a,1)
=π[(1/5·1^5-a^4·1)-(1/5a^5-a^4·a)]
=π[1/5-a^4-1/5a^5+a^5]
=π/5-πa^4+4/5πa^5
V(a)=V1+V2
=4/5πa^5+π/5-πa^4+4/5πa^5
=8/5πa^5-πa^4+π/5
V'(a)=8πa^4-4πa^3
=4πa^3(a-1)
V'(a)<0
4πa^3(a-1)<0
0<a<1

单调递减区间：(0,1)
最小值：V(a)min=V(1)
=8/5π·1^5-π·1^4+π/5
=8/5π-π+π/5
=4/5π

Answer 2

我不会