设随机变量(X,Y)的联合概率密度分别如下

Question

如题所述

Answer 1

随机变量（x，y）的联合概率密度分别如下：
f（x，y）={ke^-(3x+4y)}
,x,y>0
0
其他
(1)
∫∫
f(x,y)dxdy=1
所以∫(0,∞)∫(0,∞)
k*e^-(3x+4y)
dxdy
=k*∫(0,∞)
dx
∫(0,∞)e^-(3x+4y)dy
=k*∫(0,∞)
dx
(-1/4)*e^(-3x-4y)
(0,∞)
=k/4*∫(0,∞)
e^(-3x)
dx
=k/4*(-1/3)*e^(-3x)
(0,
∞)
=k/12
所以k=12
(2)p(xy)是求什么
(3)e(xy)=∫∫
xy*f(x,y)dxdy
=12∫(0,
∞)
x*e^(-3x)
dx
∫(0,
∞)
y*e^(-4y)
dy
这里
∫(0,
∞)
x*e^(-3x)
dx
=(-1/3)∫(0,
∞)
x*d(e^(-3x)
)
=(-1/3)*x*e^(-3x)
(0,
∞)+1/3*∫(0,
∞)
e^(-3x)
dx
=1/3*(-1/3)*e^(-3x)
(0,
∞)
=1/9
同样
∫(0,
∞)
y*e^(-4y)
dy=1/16
所以e(xy)
=12∫(0,
∞)
x*e^(-3x)
dx
∫(0,
∞)
y*e^(-4y)
dy=12*1/9*1/16=1/12