若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。
结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。
在二维环境下，就是通常所说的平面直角坐标系中，可以通过画图直观地看出一条二维曲线是凸还是凹，当然它也对应一个解析表示形式,就是那个不等式。但是，在多维情况下，图形是画不出来的，这就没法从直观上理解“凹”和“凸“的含义了，只能通过表达式。当然n维的表达式比二维的肯定要复杂，但是，不管是从图形上直观理解还是从表达式上理解，都是描述的同一个客观事实。而且，按照函数图形来定义的凹凸和按照函数来定义的凹凸正好相反。
反过来，根据开口朝向，可以直接判断二阶导是否大于0。比如在下图中，把曲线拐弯的地方，想象成二次函数的抛物线9 ，开刑向上，就是a> 0 ，即此处二阶导大于0。开刑向下，就是a< 0，此处二阶导小于0。实，不仅能看出二阶导的正负，还能看出二阶导绝对值大小。二次函数中， a的绝对值越大， 开口越小。类比-下，下图中x=0附近曲线开口，明显比x= -5附近的开口大，所以可以肯定x=0附近的二阶导比较小。
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第1个回答 2024-01-04
函数凹凸性的判断方法如下：
看导数，代数上，函数一阶导数为负，二阶导数为正（或者一阶正，二阶负），便是凸的，一阶与二阶同号为凹。函数在凹凸性发生改变的点称为拐点，拐点的二阶导数为0或不存在二阶导数。
函数定义：
1、凹函数定义
设函数y =f （x ） 在区间I 上连续，对x 1， x 2∈I ，若恒有f （则称y =f （x ） 的图象是凹的，函数y =f （x ） 为凹函数。
2、凸函数定义
设函数y =f （x ） 在区间I 上连续，对x 1， x 2∈I ，若恒有f （则称y =f （x ） 的图象是凸的，函数y =f （x ） 为凸函数。
单调函数判定：
设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。
如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
看导数，代数上，函数一阶导数为负，二阶导数为正（或者一阶正，二阶负），便是凸的，一阶与二阶同号为凹。函数在凹凸性发生改变的点称为拐点，拐点的二阶导数为0或不存在二阶导数。
函数定义：
1、凹函数定义
设函数y =f （x ） 在区间I 上连续，对x 1， x 2∈I ，若恒有f （则称y =f （x ） 的图象是凹的，函数y =f （x ） 为凹函数。
2、凸函数定义
设函数y =f （x ） 在区间I 上连续，对x 1， x 2∈I ，若恒有f （则称y =f （x ） 的图象是凸的，函数y =f （x ） 为凸函数。
单调函数判定：
设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。
设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。
如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
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