（一）地震层析成像的数学理论
1917年，奥地利数学家拉冬（J.Radon）对于由投影重建图像的思想首次做出了严格的数学表达，解决了分布函数与投影之间的变换关系问题。
1.拉冬变换
在二维域中存在一未知的连续函数f（x，y），令Ox[y]坐标系逆时针旋转θ角，形成O[vu]坐标系。将f（x，y）沿平行于u轴方向的射线Li做线积分，并设其为Pθ（ti），经变换后得Pθ（ti）为f（x，y）在角度为θ时沿射线Li的投影值，沿众射线Li（i=1，2，…）投影，构成投影函数
固体地球物理学概论
式（4-43）即为拉冬正变换，改变θ角得到一系列投影函数Pθ（t）。
将投影函数与某一核函数褶积求得褶积后的投影函数Gθ（t），再做反投影求得目标函数f（x，y），即拉冬逆变换。投影成像应采用滤波反投影形成的拉冬逆变换为
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其中s=ycosθ—xsinθ。实际应用时，要将式（4-44）离散化、有限化。
2.傅里叶（Fourier）投影定量
设目标函数为f（x，y），投影函数为P（r，θ），并满足拉冬变换，求得投影函数的一维傅里叶变换P*（u，θ）和二维傅里叶变换f*（u，θ），而P*（u，θ）=f*（u，θ）式为傅里叶投影定理，据此求取研究区的速度场。
（二）地震层析成像的物理基础——射线理论
射线方程和界面条件（Cerveny et al.，1977；刘福田等，1989）：假定地球是各向同性、完全弹性的成层介质，在利用走时重建速度图像时，取地震波的高频近似解，且将地震震源视作点源。设波速为v，则由震源i至接收点j的走时可写成
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式中：Lij为射线路径。在球面坐标系中，路径的微分方程为
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式中P=（Pr，Pθ，Pφ）为慢度向量：
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式中：cosγr、cosγθ、cosγφ为射线的方向余弦，有cos2γr+cos2γθ+cos2γφ=1。
式（4-44）是在波速为连续函数假定下导出的，地球内部存在界面，则波入射后产生反射和折射。设两界面之间的地层内部是连续的，只要能够确定界面条件，就可在分层介质中进行射线追踪。界面条件可用相位匹配法导出，在球坐标系中的折射波有
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式中：角标i表示入射波，j表示折射波；v1和v2分别为入射介质和折射介质的波速；sgn（）为符号函数。
射线宽度（Cerveny et al.，1983）：根据式（4-45）～式（4-48），不难得到地震波的走时。这就意味着，已经假定式（4-45）是在三维空间上的射线上求积分；理论上只有当无限高频时才能认为存在无限窄的射线（波长λ→0），而射线解对介质是“绝对”分辨的。由于地震波频率总是有限的，因此分辨能力也是有限的。为解决这个矛盾，在地震波的高频近似解中需要对标准射线方法进行修正。例如，可以把射线视作中心射线为费马射线的高斯射线，其宽度可用距中心射线的距离d（s）来度量。显然，射线宽度d（s）将直接影响地震层析成像的分辨率。根据惠更斯原理，一个波前的每个面元可看作一个产生球面波的次级扰动中心，且以后任意时刻波前的位置是所有这些子波的包络面。按照惠更斯菲涅尔原理，只当OAP—ODP≤λ/4时，次生波在P波处才产生相长干涉，以致A处的结构要影响到P处观测到的波场。据此，得到路径长度为L射线的最大宽度dm（s）近似为
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例如，当λ=10km时，对长度为3000km和10000km的射线，其最大宽度dm（s）各约为61km和112km；当λ=5km时，对长度为100km和500km的射线，其最大宽度各约为8km和18km。这表明，远震和区域地震数据其水平分辨率是＋分不同的。这在地震层析成像中须予以重视。