已知函数fx=x^2*ln｜x｜.(1)求函数的单调区间。(2)若x的方程f(x)=kx-1有实数解求k的取值范围！

Question

如题所述

Answer 1

(1)f(x)=x²·ln|x|
f'(x)=2xln|x|+x²·1/x
=2xln|x|+x
=x(2ln|x|+1)
当x>e^(-1/2)时,f'(x)>0;
当0<x<e^(-1/2)时，f'(x)<0;
当-e^(-1/2)x<0时，f'(x)>0;
当x<-e^(-1/2)时，f'(x)<0;
于是函数的单调增区间为(-e^(-1/2),0)和(e^(-1/2),+∞);
函数的单调减区间为(0,e^(-1/2))和(-∞,-e^(-1/2)).

(2)关于x的方程f(x)=kx-1有实数解也就是说直线y=kx-1与f(x)的图像有交点，也就是说，直线y=kx-1夹在过点(0,-1)的f(x)的两条切线之间。
设过点(0,-1)的f(x)的切线为y=mx-1,切点为(x0,y0)则
x0(2ln|x0|+1)=m
x0²·ln|x0|=mx0-1
解得x0=±1，m=±1。
于是当k≥1或k≤-1时，关于x的方程f(x)=kx-1有实数解.

Answer 2

f(x)=x^2*ln｜x｜
这个函数是关于y轴对称的（这个应该很容易吧）
所以就只用讨论x>0的单调区间
f(x)=x^2*ln｜x｜=x^2*lnx
求导，f'(x)=2x*lnx+x^2*1/x=2x*lnx+x=x(2lnx+1)
只要f'(x)>0，那么函数单调递增
令f'(x)=0，有lnx=-1/2,x=1/根号e
所以，x在（1/根号e,无穷大）单调递增，在（0，1/根号e）单调递减
在x<0里面，由对称性，
x在（-1/根号e，0）单调递增，在（-无穷，,x=1/根号e）单调递减

2.令g(x)=kx-1必过（0，-1）
f（x）=x^2*ln｜x｜，由刚才分析，有极小值，也是最小值，在x=1/根号e处取得，此时y=-1/2e
只要f(x)与g(x)有交点，方程有解
画出图象（定性的）
（0，-1）与(1/根号e,-1/2e)的连线为临界点，k比这个值大的一定有交点
临界k值为,k=1/根号e-1/2根号e
所以k的取值为k>1/根号e-1/2根号e或k<-(1/根号e-1/2根号e)

希望能帮助你~！（手都痛了...采纳吧）

Answer 3

题1
x不等于0
x>0时：f(x)'=2x*lnx+x 令f(x)'=0 得x1=0(舍去) x2=1/(根下e)
所以0<x<=1/(根下e)时是减函数，x>=1/(根下e)时是增函数。
x<o时：f(x)'=2x*ln(-x)-x f(x)'=0 得x1=0(舍去) x2=-(根下e)
所以0>x>=-(根下e)时是增函数，x<=(根下e)时是减函数。
综上。。。(取并集)

第2题太麻烦了，用数形结合还简单点，可在这里不能画图啊，真抱歉，祝学习进步

Answer 4

1.当x>0时，f'(x)=x(2lnx+1)>0,所以函数在(0,+∞)递增，因为f(x)=f(-x)，函数关于y轴对称，所以在(-∞,0)递减。
2.k=(1+x^2*ln|x|)/x

Answer 5

因为函数是关于Y轴对称，所以只考虑x>0时即可，这时函数变为f(x)=x^2*lnx求导后解得函数在e^-1/2处有极小值，所以函数在(0,e^-1/2]上递减，在[e^-1/2,+无穷]上递增，所以函数的递减区间是(-无穷，-e^-1/2]并(0,e^-1/2]递增区间是[-e^-1/2,0)并[e^-1/2,+无穷),K取值是[e^-3/2,+无穷)并(-无穷,-e^-3/2]