若f（x）在x=x0处可导

Question

若f（x）在x=x0处可导，则当x无限趋近于x0时，[f（x）]²-[f（x0）]²/（x)²-(x0）²

Answer 1

lim（f²(x)-f²(x0)/（x-x0)
因式分解为：
=lim (f(x)+f(x0))(f(x)-f(x0))/(x-x0)
拆成两项
=lim[(f(x)+f(x0)] * lim [f(x)-f(x0)]/(x-x0)
根据导数的定义得到
=2f(x0)*f'(x0)追问

我的分母是x²-x0²

Answer 2

不一定经典反例f(x)=x^2sin(1/x)，定义f(0)=0。 f'(0)=0，当x趋于0时 f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)极限不存在。

Answer 3

lim(x→x₀)[f²(x)-f²(x₀)]/(x²-x²₀)
=lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)][f(x)+f(x₀)]/[(x-x₀)(x+x₀)]
=f'(x₀)·f(x₀)/x₀