高等数学中等价无穷小的问题

Question

题目是:求当x→0时，(tanx-sinx)/(sinx)3的极限是多少？

根据等价无穷小的结论，当x→0时tanx=x，sinx=x。因此上式可以转化为(x-x)/x3，结果是0。

但是本人将式子进行转换，tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx；(sinx)3=sinx(sinx)2.将两式同时除以sinx，（显然sinx≠0），可以得(1-cosx)/cosx[1-(cosx)2]，这里1-（cosx)2可以分解为（1+cosx)(1-cosx).由于x→0所以，cosx≠1。因此上式可以同时约掉1-cosx；最后式子就成了1/cosx(1+cosx)。最后的结果居然是1/2！

怎么会出现这样的情况？到底是等价无穷小错了还是我后面的推算有问题？请大家指导下！

Answer 1

你错误运用了等价无穷小。1/2是正确的。
这是一个特别需要注意的地方，当分子或者分母为几个函数的和时，要把它们作为一个整体去等价。而不是单个等价。然后再加起来。

Answer 2

注意 x→0的时候不是tanx=x 而是趋于x 这个和等号有本质的不同

你把tanx和sinx都做taylor展开就看清楚了 虽然他们都与x同阶 但是高阶部分不同 两者相减去掉了高阶的部分还剩下三阶的x本回答被提问者采纳

Answer 3

你对等价无穷小的理解有误差：tanx~x，sinx~x
等价无穷小代换，方法a~a',b~b',则lima/b=lima'/b'
你用的不对。