f:X→Y,X与Y为有穷集合,如果f是左可逆的,那么f有多少个左逆映射

Question

如题所述

Answer 1

抽象代数的角度简单想想就能得出结论了：
映射的集合成半群，f左可逆，则至少存在一个左逆映射，也可以有多个，甚至无穷个。
如果映射的集合成群，那么左逆映射就只有一个。
如果f既是左可逆的又是又可逆的，那么它们左逆映射等于右逆映射相等且唯一，此时就是双射

Answer 2

假设g和h都是f的逆映射,g ≠ h,那么根据函数不相等的定义,就必然存在y ∈ B,使得g(y) = x1,h(y) = x2,x1,x2 ∈ A,x1 ≠ x2.
因为h是逆映射,根据定义,h(y) = x2意味着f(x2) = y.
但是因为g也是逆映射,同样根据定义,f(x2) = y意味着g(y) = x2,这与g(y) = x1 ≠ x2矛盾.
矛盾说明了假设的错误,逆映射惟一.
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也可以说“根据映射不相等的定义”啦,这里随便的.
两个映射g和h要相等,必须定义域同、值域同、对应关系同,也就是对任意的x,g(x) = h(x).现在要不相等,那就否定它,也就是存在x,使得g(x) ≠ h(x).
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lz你是先假定存在g和g',然后证明g = g',这个思路是同一法,而不是反证法,所以你用反证法的语言去叙述,看起来不免别扭.如果用同一法,证明应该这样写：
设g和g'都是f的逆映射,那么根据逆映射存在的条件,对任意的y ∈B,有且仅有惟一的x ∈A使得f(x) = y.
再根据逆映射的定义,g(y) = x,g'(y) = x.即g(y) = g'(y).
y的任意性说明了g = g',因此逆映射惟一.本回答被提问者和网友采纳