已知函数fx=x2-x+c （x∈｛0，1｝

Question

已知函数fx=x2-x+c （x∈｛0，1｝
1.求fx的最大值和最小值

2求证：对任意X1,X2∈[0,1] 总有f（x1）-f（x2）的绝对值小于等于四分之一
3若函数y=f(x)在区间[0,1]上有零点，求C的取值范围
这是清远市2013-2014的高一考试题 注意是高一

Answer 1

已知函数fx=x2-x+c （x∈｛0，1｝
1.求fx的最大值和最小值；
2求证：对任意X1,X2∈[0,1] 总有f（x1）-f（x2）的绝对值小于等于四分之一
3若函数y=f(x)在区间[0,1]上有零点，求C的取值范围

（1）解析：∵函数f(x)=x^2-x+c （x∈[0,1]）

f(x)图像为开口向上的抛物线，对称轴x=1/2

∴f(x)在x=1/2时，取得最小值f(1/2)=c-1/4；在x=0或x=1时取得最大值c

（2）证明：由（1）知：对任意X1,X2∈[0,1]，

总有c−1/4<=f(x1)<=c，c−1/4<=f(x2)<=c

∴|f(x1)-f(x2|<=f(x)max-f(x)min=c-(c-1/4)=1/4．
（3）解析：∵函数f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=1/2，
函数y=f（x）在[0，1]上有零点，其图象如图，

                           
则f(1/2)=(1/2)^2-1/2+c<=0==>c<=1/4，

f(0)>=0==>c>=0

即0<=c<=1/4

∴所求实数c的取值范围是0≤c≤1/4

Answer 2

这是一个一元二次函数，利用初三的知识可以解决大部分问题
1
y=a*X^2+b*x+C
a >0 有最小值
a<0 有最大值
此题 a=1 >0
所以最小值在 x= -b/2a 处
x = -(1/-1*2) = 0.5
f(x)= 0.5^2-0.5+c = c-0.25
最大值为无穷大

2
f(x) 的最小值时为x=0.5, 在[0,1]之间
所以当x∈[0,1] 时
最小值为 f(0.5)=c-0.25
最大值为 f(0)=f(1) = c
所以 |f(x1)-f(x2)| <= |f(0)-f(0.5)|=|c-c+0.25| = 0.25

3
有解时判别式：△≥0
b^2-4ac≥0
1-4c≥0
c≤0.25

且f(0)=f(1)≥0
f(0)=f(1) =c≥0
所以， [0,0.25] 时有解

Answer 3

证明：
f（x）定义域为全体实数；
对f（x）求导数，可得到导函数F（x）=2x-1;
1：令F（x）=0可得，x=0.5；
2：令F（x）>0可得，x>0.5；
3：令F（x）<0可得，x<0.5；
由以上三点可得函数f（x）在区间（-∞，0.5）单调递减，在区间（0.5，∞）单调递增，f(0.5)为函数f（x）的极小值点，f（0.5）=c-0.25；
函数f（x）在区间[0,1]的最值只能在该区间端点以及极值点处取得；
又f（0）=c；f（1）=c；
从而推出：
（c-0.25）＝f（0.5）≤f（x）≤f（0）=f（1）=c对任意X∈[0,1]恒成立；
这是由已知推导出来的结论，很明显，题目要证f（x）≤0.25对任意X∈[0,1]恒成立，缺少一个必要条件：c=0.25
由结论还可以推出f（x）≥（c-0.25）对任意X∈[0,1]恒成立；
解答完毕追问

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