一个球体的表面任意取四个点A、 B、 C、 D，那么这四个点同半球的概率是多少

Question

如题所述

Answer 1

一：任意取两点A和B，这两点和圆心O确定一个平面，不妨叫做赤道面，它和球面相交的圆即是赤道，赤道面将球面分为南北两个半球。
则另外两个点C和D在同一个半球（同在南半球或者同在北半球）的概率是1/2，反之:C和D分居两个半球的概率是1/2。
如果是前一种情况，那么A B C D肯定同半球，概率是1/2；
如果是后一种情况，我们就不能确定四个点是否同半球，还要分情况讨论。
二：如果C和D分居两个半球，C的圆心对称点（过C点和圆心O的直线在另一个半球的交点）记作C'，D的圆心对称点记作D'，那么连接C' D'的最短弧（C' D'和圆心O确定的平面同球面相交的圆上，连接C' D'的那段较小的弧）同赤道肯定相交，交点记为P。根据题设，可以证明下面几个结论：

1：交点P在赤道上是均匀分布的；
2：如果P落在连接A B的最短弧上，那么A B C D不同半球；反之，如果P落在连接A B的最长弧上，那么A B C D同半球；——注意：连接A B的最短弧和最长弧组成了赤道。
3：交点P落在A B的最短弧上的概率是1/4：反之落在最长弧上的概率是3/4。——注意这里是总的概率，也就是A B和P点都随机均匀分布在赤道上，P点落在A B最短弧上的概率。
补充：第三个结论和这样的命题是等价的，即在圆环上任取三点，这三点同半圆的概率是3/4，因为这里也可以根据其中一点的圆心对称点是否落在连接另两点的最短弧上来判定三点是否同半圆。
于是在C D分居两个半球的情形下，A B C D同半球的概率是3/4。
故：A B C D同半球的最终概率是：1/2＋(1/2)*(3/4)=7/8。

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