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设n阶矩阵a满足a2=a,证明
设N阶矩阵A满足A
^
2=A,证明
E-
2A
可逆,且(E-2A)^-1=E-2A.求证明过程.
答:
证明
:因为 A^2=A 所以 (E-2A)(E-2A) = E-4A+4A^2 = E-4A+4A = E.所以 E-2A 可逆,且 (E-2A)^-1 = E-2A.
设n阶矩阵A满足A2=A,
其中E为n阶单位矩阵
, 证明
R(A)+R(A-E)≤n
答:
【答案】:证: 因为
A2
-A=0,则A(A-E)=0
,设A
-E=B,则AB=0,把B按列分块为B=(b1,b2,…,bn),则AB=(Ab1,Ab2,…,Abn)=0即Abj=0(j=1,2,…
,n
),所以月的列向量bj(j=1,2,…,n)都是AX= 0的解向量.由于AX=0的基础解系含n-R(A)个线性无关的解向量,而b1, b2,…,b...
设n阶矩阵A满足A
^
2=A
.E为n阶单位矩阵。求证R(A)+R(A'-E)<=n
答:
<= n.其中a,b分别是 m*n,n*s
矩阵
.2.r(a+b)<= r(a)+r(b)
证明
:由a^2=a得 a(a-e)=0 所以 r(a)+r(a-e)<=n.又 n = r(e)= r (a - (a-e))<= r(a)+r(a-e).所以 r(a)+r(a-e)= n.
已知
n阶矩阵A满足A 2 =A,证明
:A=I或detA=0.
答:
证明
:∵A 2 =A, ∴A(A-I)=0, 若detA≠0, 则A 可逆. 则A-I=A -1 A(A-I)=A -1 0=0, ∴有A=I. 故A=I或detA=0.
线性代数:请教,
设A
是
n阶矩阵,满足A
^
2=A
.
证明
:r(A)+r(A-E)=n
答:
A^
2=A
得到A(A-E)=0 由r(A)+r(B)-
n
<=r(AB)所以 r(A)+r(A-E)-n<=r(A(A-E))=0 所以 r(A)+r(A-E)<=n 有由于 r(A)+r(B)>=r(A±B)所以 r(A)+r(A-E)>=r[A-(A-E)]=r(E)=n 所以 n<=r(A)+r(A-E)<=n 所以 r(A)+r(A-E)=n ...
设A
是
n阶矩阵,
且A^
2=A,证明
r(A)+r(A-E)=n
答:
证明
: 首先有两个个定理要知道 (1)若AB=0.则r(A)+r(B)<=
n
(2)r(A)+r(B)>=r(A+或 -B)由A^
2=A,
得A(A-E)=0,所以r(A)+r(A-E)<=n 另外r(A)+r(A-E)>=r[A-(A-E)]=r(E)=n 所以r(A)+r(A-E)=n
设n阶矩阵A满足A
^
2=A,
求A的特征值,并
证明
E+A可逆。
答:
A^2-A-2E=-2E分解得:(A-2E)(A+E)=-2E即:-1/2*(A-2E)(A+E)=E由逆
矩阵
性质:当AB=E,时,则称A可逆,且A^(-1)=B 则(A+E)可逆,且逆矩阵为:-1/2*(A-2E)对于这种
证明
题,先把这个式子凑出来。然后分解因式就可求出其逆矩阵! 证明:A^
2=A
则A^2-A=0凑因式分解!A^2-A-2E=-2E分解...
n阶矩阵A满足A
²
=A
时,称A为幂等
矩阵,设A
为幂等矩阵
,证明
:A+E和A-2...
答:
A^
2 = A ,
A^2 - A = O, A^-A-2E = -2E (A+E)(A-2E) = -2E, -(1/2)(A+E)(A-2E) = E 故 A + E 可逆,逆
矩阵
是 -(1/2)(A-2E);A - 2E 可逆,逆矩阵是 -(1/2)(A+E)。
设A为
n阶矩阵
,
满足A2=A,设A
为n阶矩阵,满足A2=A,试证:r(A)+r(A+I)=n
答:
证明
:(1)U∩V=0:x∈U∩V则Ax=0且Ax=x,所以x=0;(2)U+V=R^n:对任意x∈R^
n,
定义x1=x-Ax,x1=Ax,则x=x1+x2;且由A(Ax)=(A^2)x=Ax易知Ax1=Ax-Ax=0,Ax
2=
Ax=x2,所以x1∈U,x2∈V。所以dim(U)+dim(V)=n。代入上式得rank(A)+rank(A-I)=n。证法二:由A^2...
已知
n阶矩阵A满足A
^
2=A
证明
A=I或detA=0
答:
证明
: 因为 A^
2=A
所以 A(A-I) = 0 若 detA ≠ 0 则 A 可逆.则 A-I = A^-1 A(A-I) = A^-1 0 = 0 所以有 A = I.故 A=I或detA=0
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