在深入理解高数的世界里，有几个概念经常令学习者困惑，让我们逐一剖析。
函数在某一点的连续性，意味着这个点周围函数值是有限的，避免了无穷间断点的出现，这是连续性的基本要求。然而，有界性并不必然保证连续性，比如跳跃间断点就揭示了这一点。
反过来，函数有界并不意味着它处处连续，比如振荡间断点就是一个典型的例子，尽管在某点附近函数值是有界的，但其不连续性依然存在。
当函数在某点连续时，该点的左右极限必然存在且等于函数值，形成了连续性的关键特征。然而，极限存在并不自动意味着函数值，比如不连续函数的极限存在，但函数行为并未在该点收敛。
例如，尽管极限存在，函数却可能不连续，揭示了它们之间的微妙差异。
函数在某点有界，极限的存在并非必然，比如振荡间断点的极限可能在某个区间内振荡，而非收敛。反之，若极限存在，函数值必然有界，否则极限无法定义。
函数的可导性是连续性的强烈信号。当函数在某点可导，意味着其在该点的左导数和右导数相等，从而确保连续性。然而，连续并不保证可导，比如函数 在 上连续，但不可导于 ，这就是一个反例。
奇函数的导函数是偶函数，而偶函数的导函数是奇函数。这个规则在原函数和导数的奇偶性分析中具有重要意义。例如，原函数的奇偶性并不能直接决定导数的奇偶性，如 的导函数是偶函数，但原函数并不是周期函数。
如果原函数是周期函数，导函数同样具有周期性，这是由导数的定义决定的。然而，导函数的周期性并不意味着原函数也必须周期，如 的例子，导数周期，但原函数是非周期的。