已知三阶实对称矩阵A的特征值1.1.-2，且(1.1.-1)T是对应于-2的特征向量，求A.

Question

如题所述

Answer 1

先随便求一个向量和(1，1，-1)^T垂直，比如(0，1，1)^T (你可以选别的，一样可以求）然后设第三个是(a，b，c)^T第三个和前两个垂直，求出a，b，c。根据题设，A作用在和(1,1,-1)^T垂直的线性子空间上是恒等变换。所以 A = Pdiag(1,1,-2)P^-1=

1 0 0

0 -1/2 -3/2

0 -3/2 -1/2

扩展资料：

基本性质

对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

对角矩阵都是对称矩阵。

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

备注

Answer 3

利用实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
知属于特征值1的特征向量满足 x1+x2-2x3=0
解得属于特征值1的特征向量 (1,-1,0)^T,(2,0,1)^T
3个特征向量构成矩阵P
有 A=Pdiag(1,1,-2)P^-1来自：求助得到的回答

Answer 4

很简单!x1+x2-x3=0（1，-1，0）T，（1，0，1）T，3个向量一组合，即可。
小意思，不谢。

Answer 5

主要得利用实对称矩阵的特征向量相互正交这一特性来求解。
设一个特征向量为X = (x1，x2，x3）T
则，
XT (1,1,-1) = 0;
解求出来XT，就可以了。
然后，构造一个可逆矩阵P = （a1，a2，a3），则
A = Pdiag（1，1，-2）P-1
就可以求解出来A