设函数f(x)的一个原函数是xlnx-x,则∫e的2x次方f'(e的x次方)dx=e的x次方+C 要详细的步骤，谢谢大家

Question

如题所述

Answer 1

f(x)=(xlnx-x)'=lnx
则
f(e^x)=x
所以
∫e^(2x)f'(e^x)dx
=∫e^xd[f(e^x)]
=∫(e^x)dx
=e^x+C
你原来的【f'(e^x)=1】这一步不合理，
因为原本
f(x)=lnx，
将自变量换为
e^x
之后得到
f(e^x)=x
此时，若要求
f'(e^x)
应得到的是
f'(e^x)=1/x，
因为是函数
f(e^x)
对x的导数，而不是对
t=e^x
整体的导数，
问题就出在这里。