函数在X0处连续，能说明它在X0的某个邻域内连续吗

Question

如题所述

Answer 1

可以，
函数在x0处连续说明对任意ε>0，存在δ>0，对任意|x-x0|<δ，|f(x)-f(x0)|<ε
那么在x0的邻域O(x0,δ/2)内的一点x1，
任意ε>0，存在δ/2>0，|x-x1|<δ/2，|x-x0|≤|x-x1|+|x1-x0|<δ，|f(x)-f(x1)|≤|f(x)-f(x0)|+|f(x0)-f(x1)|<2ε
这就说明函数在x0的邻域O(x0,δ/2)内连续

Answer 2

应该不正确。

举一个例子，f(x)=0, x=0和除1/n以外的所有实数，n是正的自然数，f(1/n)=1/n，这时f(x)在x=0连续，但在x=0的任何一个邻域都不是处处连续。
不知道这个例子举得正确否？本回答被提问者采纳