概率问题：球面上任给四个点，问它们处于同一个半球面上的概率。

Question

如题所述

Answer 1

0.5，两个点确定一个大圆，另外两点无非在大圆的两侧，要么两边各有一个（2种），要么在同侧（2种）在同侧即为四点共半球面，所以为2/4=0.5.

Answer 2

求球面上n个均匀随机分布的点落在同一半球的概率。
因为是均匀分布，所以取到每个点的概率密度与取到其对径点的概率密度是一样的。每个点都有一个对径点，这样便有n对点。在每对点中各取一点，共有2^n中取法，每种取法的概率密度是相同的。现在只要计算这2^n
种取法中，有多少种取法[记为F(n)]是落在同一半球上的，则所求概率为F(n)/2^n
。
上面有个假设，即认为F(n)的值只与n有关，而跟n个点的具体位置无关。这个是可以证明的（忽略两点重合，三点共大圆的零概率情况）。而且，还可以证明，F(n)等于球面上n个大圆（任意两个大圆不重合，任意三个大圆不共点）把球面分割成小片的片数。这个数目等于
n^2
-
n
+
2。于是所求概率等于
(n^2-n+2)
/2^n
。
按照此公式得出的概率是14/16