题目说f(x)g(x)在x0存在二阶导数 然后F（x）=g（x）f（x）为什么可以对Fx求二阶导

Question

题目说f(x)g(x)在x0存在二阶导数 然后F（x）=g（x）f（x）为什么可以对Fx求二阶导不是说只告诉一点可导不一定邻域可导 所以二阶导只能用定义求 这题为什么解答又直接求导了呢？

Answer 1

答：
你这审题审的
题设已经明确说了x=x0时存在二阶导数，而且，也没有求F'(x)，你仔细看清楚了嘛？
是f'(x0)g'(x0)<0
完整的解法：

根据题意，显然：
F'(x0)=f'(x0)g(x0)+f(x0)g'(x0)=0
因此：x0是函数F(x0)的一个驻点！（排除A）
因为不能判断x<x0和x>x0的情况，因此，暂时还不能判定是不是极值点！
为此，再求导！
根据已知，F''(x0)必然存在，因此：
F''(x0)
=f''(x0)g(x0)+f'(x0)g'(x0)+f'(x0)g'(x0)+f(x0)g''(x0)
=2f'(x0)g'(x0)<0
因此：
F'(x0)是减函数！
因此：
当x在x0的某个去心领域内：
当x<x0时：F'(x) > F'(x0)=0，即：F'(x) > 0
当x>x0时：F'(x) < F'(x0)=0，即：F'(x) < 0
这里求的不是F(x)的一阶导函数，而是F'(x0)的x0的去心领域内的取值！
（排除B和C）
综上：
x0是极大值点！
选D！