隐函数存在问题

Question

隐函数存在问题10题，来大神，谢谢

Answer 1

隐函数z=z（x，y）“唯一性存在”三条件：
（1）（x0，y0，z0）邻域内Fx，Fy，Fz连续；
（2）F（x0，y0，z0）=0；
（3）Fz（x0，y0，z0）≠0。
F(x,y，z)=xy-zlny+e^xz-1
Fx=y+ze^xz
Fy=x-z/y
Fz=-lny+xe^xz
F(0,1,1)=0×1-1ln1+e^(0×1）-1=0,满足。
Fx（0,1,1）=（1+1e^0)=2≠0,邻域内连续、不为0，满足；
Fy（0,1,1）=0-1/1=-1≠0，邻域内连续、不为0，满足；
Fz（0，1,1）=-ln1+0e^0=0,，连续满足，不为0不满足。
意味着，在（0,1,1）邻域内，对z是极值点，对于相同的F值，z有不同的值与之对应。
但是x=x（y，z），y=y（x，z）是可以唯一确定的。因为Fx，Fy≠0