判断一个二次型是否正定，可以采用以下几种方法：
1. 求特征值：通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。先求出矩阵的所有特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于 n（矩阵的阶数）来判定二次型的正定性。如果大于零的特征值个数等于 n，则二次型是正定的。
2. 计算顺序主子式：设 A 是二次型的矩阵，A 正定（即二次型正定）的充分必要条件是 A 的各阶顺序主子式都大于零。因此，只需要计算 A 的各阶顺序主子式就可以判断二次型是否正定。
3. 判断正惯性指数：正惯性指数是矩阵的一个指标，表示矩阵对正定二次型的稳定性。如果一个二次型的正惯性指数为 n（矩阵为 n 阶），则该二次型是正定的。
4. 特殊情况直接证明：有些二次型可以通过直接证明其正定性，例如当二次型的系数都是正数时，二次型就是正定的。
需要注意的是，以上方法并非互斥，可以根据实际情况选择合适的方法来判断二次型是否正定。
扩展资料：
1、二次型是指一个关于n个变量的二次多项式，可以表示为Q（x）=x^TAx的形式，其中x=（x1,x2,...,xn）是n维列向量，A是一个n*n的实对称矩阵。如果A的所有特征值都大于0，则称Q（x）是正定二次型。
2\正定二次型具有以下性质：Q（x）的取值范围为[0,+∞），即Q（x）的值始终为非负数。当x≠0时，Q（x）>0。正定二次型的矩阵A必须是实对称矩阵，且所有特征值均为正。正定二次型的矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式不为0。
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