函数的敛散性？

Question

如题所述

Answer 1

函数项级数在现代工程技术方面有着普遍的应用,它在数学分析中也具有重要地位,是学习数学分析的重难点所在,不易被掌握和应用.而我们要理解和掌握函数项级数,就必须要先研究它的敛散性,而这项工作往往是比较困难的.书本上介绍了一些判别函数项级数敛散性的基本方法,但是这些方法往往只能解决一些比较常规的问题.因此对于不同类型的函数项级数,往往需要寻求不同的方法来判别其敛散性.目前已经有许多学者们在判别函数项级数敛散性方面做出了很多贡献,但很多都具有其本身的局限性.本文从三个层面展开论述:首先论述函数列、函数项级数的定义及其敛散性的概念.然后分别列出函数项级数敛散性的一些常见判别法以及在这些判别法上推出的一些定理. 最后用一些实际例题来验证这些判别法.
1 预备知识
设为一列定义在同一数集上的函数,称为定义在上的函数列.该函数也可简单地写作或,.
定义设函数列与函数定义在同一数集上,若对任给的正数,总存在某一正整数,使得当时,对一切,都有
,
那么称函数列在上一致收敛于,记作
,.
设为定义在数集上的一个函数列,则

称为定义在上的函数项级数,简记为,并称

为函数项级数的部分和函数列.
定义若函数项级数的部分和函数列在数集上一致收敛于,则称函数项级数在上一致收敛于或称在上一致收敛.
2 函数项级数敛散性的判别方法
定理（柯西一致收敛准则）函数项级数在数集上一致收敛的充要条件：对于任意的正数,总存在个某正整数,使得当时,对一切和一切正整数
都有 ||<或 ||<.
柯西收敛准则和定义是数学分析中判断一致收敛的常用方法，我们还可以根据级数各项的特征去判定其敛散性.下面讨论定义在区间上形如

（2.1）
的函数项级数敛散性的判别.
推论1（柯西准则逆否命题）函数项级数在区间上非一致收敛的充要条件为，, ,，使得.
这里最关键的是要找出与及之间的关系，然后凑出，此类型题目也有一个简便方法，即取能适用于许多题型．这种做法比较实用，优先考虑．
推论2 函数列在数集上非一致收敛于0，那么函数项级数在数集上非一致收敛．
推论3 如果函数项级数在区间上逐点收敛，并在区间中存在点列，使，有函数项级数在区间上非一致收敛．

Answer 2

函数项级数收敛，
因为∑cosnx 有界
，1/n^p单调递减趋向零
根据Dirichlet判别法知收敛。

Answer 3

函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。表示
首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示[2]。
概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值

Answer 4

收敛，详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问