设f(x)在点x=o的某一邻域内具有连续的二阶导数,且lim(x->0)f(x)/x=0,证明:级数∑(n=1,∞)f(1/n)绝对收敛

Question

设f(x)在点x=o的某一邻域内具有连续的二阶导数,且lim(x->0)f(x)/x=0,证明:级数∑(n=1,∞)f(1/n)绝对收敛

Answer 1

f(x)在点x=o的某一邻域内具有连续的二阶导数
lim(x->0)f(x)/x=0，则：
f(0)=f'(0)=0
则：lim(x->0)f(x)/x^2=lim(x->0)f'(x)/2x=0
等价于
lim(n->∞)f(1/n)*n^2=0，因此
lim(n->∞)∑f(1/n)<lim(n->∞)∑1/n^2绝对收敛
或
利用泰勒公式：f(x)＝f(0)＋f'(0)x＋f''(ξ)/2×x^2，ξ介于x与0之间.
f(x)在点x=0处具有连续的二阶导数，所以f''(x)有界，即存在正数M，使得|f''(x)|≤M.
因为lim(x→0)f(x)/x＝0，所以f(0)＝lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)f(x)/x×x＝0，f'(0)＝lim(x→0)f(x)/x＝0
所以，f(x)＝f''(ξ)/2×x^2，从而f(1/n)＝f''(ξn)/2×1/n^2，ξn介于0与1/n之间.
所以，|f(1/n)|≤M/2×1/n^2
因为∑(1/n^2)收敛，所以∑|f(1/n)|收敛，得∑f(1/n)绝对收敛.

Answer 2

利用泰勒公式：f(x)＝f(0)＋f'(0)x＋f''(ξ)/2×x^2，ξ介于x与0之间.
f(x)在点x=0处具有连续的二阶导数，所以f''(x)有界，即存在正数M，使得|f''(x)|≤M.
因为lim(x→0)f(x)/x＝0，所以f(0)＝lim(x→0)f(x)＝lim(x→0)f(x)/x×x＝0，f'(0)＝lim(x→0)f(x)/x＝0
所以，f(x)＝f''(ξ)/2×x^2，从而f(1/n)＝f''(ξn)/2×1/n^2，ξn介于0与1/n之间.
所以，|f(1/n)|≤M/2×1/n^2
因为∑(1/n^2)收敛，所以∑|f(1/n)|收敛，得∑f(1/n)绝对收敛.

Answer 3

f(x)在点x=o的某一邻域内具有连续的二阶导数
lim(x->0)f(x)/x=0，则：
f(0)=f'(0)=0
则：lim(x->0)f(x)/x^2=lim(x->0)f'(x)/2x=0
等价于
lim(n->∞)f(1/n)*n^2=0，因此
lim(n->∞)∑f(1/n)<lim(n->∞)∑1/n^2绝对收敛