若f(X)在X0处取得极值，则曲线y=f(X)在点 (X0,F(X0)处必有水平切线是错误的。
因为函数f(x)的定义域如果为[x1,x0]，
即x0为函数的端点，则f(x)在x=x0处没有导数，即切线不存在。
例如：
f′（x）=3x2-6x=3x（x-2）=0，解得x=0，2
令f′（x）＞0，得x＜0或x＞2，所以f（x）在[-2，0]内递增
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，所以函数f（x）在[0，2]内递减
所以f（x）max=f（0）=0，f（-2）=-20，f（2）=-4，所以f（x）min═-20
故函数f（x）在[-2，2]上的值域为[-20，0]
表述
函数在其定义域的某些局部区域所达到的相对 最大值或相对最小值。当函数在其 定义域的某一点的值大于该点周围 任何点的值时，称函数在该点有极 大值；当函数在其定义域的某一点的值小于该点周围任何点的值时， 称函数在该点有极小值。
这里的极 大和极小只具有局部意义。因为函 数的一个极值只是它在某一点附近 的小范围内的极大值或极小值。
因为如果函数f(x)的定义域，如果为[x1，x0]，即x0为函数的端点，则f(x)在x=x0处没有导数。即切线不存在。
不一定有极值，考虑f(x)=x³ 在x=0处。
也有可能有极值 ，考虑f(x)=x^4在x=0处。
扩展资料
求极大极小值步骤
（1）求导数f'(x)；
（2）求方程f'(x)=0的根；
（3）检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。
特别注意
f'(x)无意义的点也要讨论。即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。
求极值点步骤
（1）求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；
（2）用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。
（3）上述所有点的集合即为极值点集合。
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因为函数f(x)的定义域如果为[x1,x0]，
即x0为函数的端点，则f(x)在x=x0处没有导数，即切线不存在。
扩展资料
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。
几何语言：∵l⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点半径。
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点，
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
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