函数f（x）在开区间（a b）内可导，f'(x)在（a b）内单调，求证：f'(x)在（a b）内连续

Question

如题所述

Answer 1

这是1986年武汉大学硕士生入学试题。

为确定，设f′（x）单调增加。任取c∈（a,b）.

f′（c）＝lim（h→0-）｛[f（c+h）-f（c）]/h｝.

从Lagrange定理：存在ξ∈（c+h,c）.f（c+h）-f（c）＝f′（ξ）h,

（此时h＜0,ξ＜c.“h→0-”→“ξ→c-”）

ξ→c-时，f′（ξ）单调增加，有上界f′（c）.从而lim（ξ→c-）f′（ξ）存

在。f′（c）＝lim（h→0-）｛[f（c+h）-f（c）]/h｝

＝lim（ξ→c-）f′（ξ）。得到f′（x）在c左连续。

同理，f′（x）在c右连续。∴f′（x）在c连续。

c任意，f′（x）在（a,b）连续.

（严格说：lim（x→c-）f′（x）存在，而子列lim（ξ→c-）f′（ξ）

＝f′（c）。∴lim（x→c-）f′（x）＝f′（c）。才有在c的左连续）