卢湾区2009年初中毕业统一学业模拟考试
数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟） 2009.4
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．下列运算中，计算结果正确的是………………………………………（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ．
2．在下列各数中，无理数是………………………………………………（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
3．下列二次三项式中可以在实数范围内分解的是………………………（ ）
A． ； B． ；
C． ； D． ．
4．在平面直角坐标系中，直线 经过……………………………（ ）
A．第一、二、三象限 ； B．第一、二、四象限；
C．第一、三、四象限 ； D．第二、三、四象限．
5．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是…………（ ）
6．如果平行四边形ABCD对角线AC与BD交于O， ， ，那么下列向量中与向量 相等的是……………………………………（ ）
A． ； B． ； C． ； D． ．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．函数 自变量的取值范围是 ．
8．有一个质地均匀且六个面上分别刻有1到6的点数的正方体骰子，掷一次骰子，向上一面的点数为偶数的概率是 ．
9．不等式 的正整数解是 ．
10．在方程 中，如果设 ，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
11．方程 的根是 ．
12．在平面直角坐标系中，如果双曲线 经过点 ，那么 ．
13．写出一个开口向下且对称轴为直线 的抛物线的函数解析式 ．
14．如图，已知 ，如果 ，那么 的度数等于 ．
15．如果一个梯形的两底长分别为4和6，那么这个梯形的中位线长为 ．
16．某飞机在离地面2000米的上空测得地面控制点的俯角为 ，此时飞机与该地面控制点之间的距离是 米．（用含有 的锐角三角比表示）
17．若正六边形的外接圆半径为4，则此正六边形的边长为 ．
18．已知某种商品的售价每件为150元，即使促销降价 后，扣除成本仍有 的利润，那么该商品每件的成本价是 元．
三、解答题
19．（本题满分10分）
先化简，再求值： ，其中 ．
20．（本题满分10分）
解方程组：
21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）
如图，已知A、B、C分别是圆 上的点， 平分劣弧 且交弦 于点H， = ， 3．
（1）求劣弧 的长；（结果保留 ）
（2）将线段 绕圆心 顺时针旋转90°得线段 ，线段 与线段 交于点 ，在答题纸上的21题图-2中画出线段 ，并求线段 的长．
22．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）
右表为卢湾区学生身体素质抽查中某校八年级一班男生引体向上成绩．
（1）计算八年级一班男生的引体向上成绩的众数，中位数，平均数；
（2）在答题纸上画出八年级一班男生引体向上成绩的频数分布直方图（将所有数据分成4组，每组包括最小值，不包括最大值）．
编号 引体向上（次） 编号 引体向上（次）
01 11 11 0
02 0 12 4
03 1 13 0
04 2 14 9
05 12 15 0
06 1 16 12
07 0 17 1
08 0 18 2
09 18 19 16
10 1 20 0
23．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）
如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
(1) 求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2) 如果AB=AD，且AH=AE，
求证：四边形EFGH是矩形．
24．（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）
在平面直角坐标系 中，将抛物线 沿 轴向上平移1个单位，再沿 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线 与平移后的抛物线相交于B，与直线OA相交于C．
（1）求△ABC面积；
（2）点P在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP与△ABC相似，求所有满足条件的P点坐标．
25．（本题满分14分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分）
在等腰△ABC中，已知AB=AC=3， ，D为AB上一点，过点D作DE⊥AB交BC边于点E，过点E作EF⊥BC交AC边于点F．
（1）当BD长为何值时，以点F为圆心，线段 为半径的圆与BC边相切？
（2）过点F作FP⊥AC，与线段DE交于点G，设BD长为 ，△EFG的面积为 ，求 关于 的函数解析式及其定义域．
卢湾区2009年初中毕业统一学业模拟考试
参考答案及评分说明
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．D； 2．C； 3．B； 4．B； 5．A； 6．D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7． ； 8． ； 9．1； 10． ；
11． ； 12． ； 13． 等； 14． ；
15．5； 16． ； 17．4； 18．100．
三、解答题
19．解：原式= ……………………………………2分
= ……………………………………………………………2分
= ………………………………………………………2分
= ． ………………………………………………………………2分
当 时，原式= = ．………………………………2分
20．解：由（2）得： ……………………………………3分
得到方程组： （Ⅰ） （Ⅱ） ……2分
解方程组（Ⅰ）得 ………………………………2分
解方程组（Ⅱ）得 ………………………………………2分
所以原方程组的解是 ………1分
21． 解：∵ 平分 ，∴ ⊥ ， ．…………1分
联结OA、OB，设OA= ，则 ，
由勾股定理得 ，解得 ． ………………………2分
∵ ⊥ ， ，OA=6，∴ 30°．
∵OA=OB，∴ 30°，∴ 120°．…………………………1分
∴ ． ………………………………………………………1分
(2)画图略． ……………………………………………………………………2分
取 中点 ，联结 ，则 ⊥ ，
是点 旋转后的对应点，∴ =90°， ．
又 ⊥ ，∴四边形 正方形．…………………………………2分
∴ ．
∴ ． ………………………………………………1分
22．解：（1）众数是0；………………………………………………………2分
中位数是1；……………………………………………………2分
平均数是4.5．…………………………………………………2分
（2）
……………………………4分
23．证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，……………………………1分
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF． …………………………………………………………2分
∴ ． …………………………………………………………………1分
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴ ， ，
即 ， ．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH． …………1分
∴ ． ………………………………………………………………1分
∴四边形EFGH是平行四边形． ……………………………………………1分
（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB‖CD，AB=CD．
设 ，则 ．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH= ．………………………1分∵AD=AB=CD，AH = AE = CG，
∴ ，即 ．……………………………………1分
∴∠DHG=∠DGH= ．…………………………………1分
∴∠EHG= ∠AHE ．…………………………………1分
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．……………………………………………………1分
解法二：联结BD，AC．
∵AH=AE，AD = AB，
∴ ，∴HE‖BD，…………………………………………………1分
同理可证，GH‖AC，…………………………………………………………1分
∵四边形ABCD是平行四边形且AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，………………………………………………1分
∴AC⊥BD，∴∠EHG ．………………………………………………1分
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．……………………………………………………1分
24．解：平移后抛物线的解析式为 ．……………………2分
∴A点坐标为（2，1），………………………………………………………1分
设直线OA解析式为 ，将A（2，1）代入
得 ，直线OA解析式为 ，
将 代入 得 ，∴C点坐标为（3， ）．…………………1分
将 代入 得 ，∴B点坐标为（3，3）．………1分
∴ ……………………………………………………………………2分
（2）∵PA‖BC，∴∠PAB=∠ABC
1°当∠PBA=∠BAC时，PB‖AC，∴四边形PACB是平行四边形，
∴ ．………………………………………1分
∴ ．………………………………………………1分
2°当∠APB=∠BAC时，
，∴ ．
又∵ ，
∴ ………………………………………………1分
∴ ……………………………………………1分
综上所述满足条件的 点有 ， ．……………………………1分
25． 解：(1)过点A作AM⊥BC，垂足为点M，……………………………1分
在Rt△ABM中， ，AB=3，∴BM=1．…………………………1分
∵AB=AC， AM⊥BC，∴BC=2．……………………………………………1分
设BD长为 ，
在Rt△BDE中， ，∴BE= ，EC= ．
同理FC= ，FE= ，………………………………………1分
∴AF= ， ………………………………………………………………1分
由题意得 = ， 解得 ．……………………2分
(2) ∵DE⊥AB，EF⊥BC，
∴ ， ，∴ ．………1分
同理 ，∴△ABC∽△EFG．…………………………………1分
∴ ．……………………………………1分
∴
∴ …4分
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