拉格朗日
微分中值定理 内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，
拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理[1]等。 内容 如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立。 [编辑本段]罗尔定理 内容 如果函数f(x)满足 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得<math>f^\prime(\xi)=0</math>。 补充 如果函数f(x)满足： 在闭区间[a,b]上连续； 在开区间(a,b)内可导； 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. 几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， 弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.： [编辑本段]柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)满足 (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导； (3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0 那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ) 成立[编辑本段]积分中值定理 f(x)在a到b上的积分等于(a-b)*f'(c),其中c满足a<c<b. 积分中值定理: 若f(x) 在[a, b]上连续, 则在（a, b）上至少存在一个点ε, 满足 b ∫f(x)dx=f(ε)(b-a) a 例1 证明 证明: 评注: 按原来的中值定理, 只能得到“³ 0”; 按改进后的中值定理, 因为 , 所以得到“> 0”. 例2 假设 上连续且严格单减, 试证对任何 有 证明: = 因为, 所以才得到“> 0”的不等式. 例3 假设 为[0, 1]上的连续、非负、严格单减函数, 且 , 证明 证明: (由于使用改进后的中值定理, 所以才得到上面严格不等号的不等式) 由以上二个不等式, 可以得到 二边乘以 , 得 因为, 由于 为[0, 1]上的连续、非负, 所以 . 顺便指出, 陈文灯先生的“数学复习指南”中, 关于
单调性的定理也需要改进. 原书中的关于单调性的定理: 定理 假设[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>0（f'(x)<0） , 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少). 应改成: 定理 假设在[a, b]上的连续函数在[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>=0（f'(x)<=0）, 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).(同济版“
高等数学”第五版上册p144)
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