高等数学，连续/可积/有界/三者的关系

Question

如题所述

Answer 1

函数在某一点连续必定在该点有极限(且这个极限就是该点的函数值)但反过来不一定，因为f(x)在某一点有极限时，在该点并不一点有定义，所以不一定连续。

函数在某一点连续也必定意味着函数在该点附近的任意一个有定义的去心邻域内有界，反过来不一定，即有界不一定连续。

函数在某个区间内连续则必定在该区间上可积，但反过来不一定，例如著名的黎曼函数，在[0，1]上的所有有理点(除了0)都不连续，但它确是可积的。

扩展资料：

仅从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序、重积分交换次序、牛顿一莱布尼茨公式等来看，黎曼积分要求的条件苛刻，对于一些问题的处理显得力不从心，但是在勒贝格积分的框架下，上述问题就会得到较为圆满的解决。另外为引入积分而得到的勒贝格测度概念还使数学分析中本来很难讲清楚的一些道理（如单调函数的可微性、黎曼可积的充要条件等）变得清晰。

参考资料来源：百度百科-可积函数

Answer 2

首先一下几点都是对一元函数所说的,对多元函数不一定成立：
1,连续和可导有非常明确的关系,即可导一定连续,但连续不一定可导,例如y=|x|在x=0处连续,但该点处的左右导数不相等,故不可导.关于可导一定连续,严格证明教材上都有,这里只给一个形象的解释,函数f(x)在x0处的导数f‘(x0)定义为x趋于x0时lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0),这个极限表达式中,分母已经是趋于0的了,如果极限值存在,分子也必须趋于0（否则极限为∞）,从而形成极限的0/0型未定式,而这就保证了limf(x)=f(x0),也就是f(x)在x0处连续.另外以上两条的逆否命题是“不连续一定不可导”,“不可导不一定不连续”,也是很有用的.
2,关于有界和连续,对于一般的情况,有界不一定连续（例如狄利克雷函数D(x)）,连续也不一定有界（例如y=x）.有界和连续只在特殊的情况下有联系,例如对点而言,函数在某点连续则在该点的某个邻域内一定有界,这是由于在某点连续的函数在该点极限一定存在,而函数极限具有局部有界性,注意我们只能断言这样的邻域一定存在,但是邻域的范围一般是不能事先断言的.对于区间而言,在闭区间上连续的函数一定有界,而对于开区间或无穷区间,都不一定成立,例如f(x)=1/x在(0,1)上连续但无界.
3,有界和可导之间一般来说没有什么关系,有界不一定可导,可导也不一定有界.
4,注意着三个概念的定义方式,连续和可导都是“逐点”定义的,即先定义在某点处函数的连续与可导,再推广到区间,推广的方式是非常自然的,即如果在区间内每一点处函数都连续或可导,则说函数在这个区间上连续或可导.连续和可导本质上是“局部”性质的概念,而有界不同,它没有“点定义”,说函数在某点处有界是没有意义的,有界性是定义在区间上的,所以本质上是“整体”性质的概念.
5,从上面的讨论可以看出,对于闭区间来说,可导一定连续,连续一定有界,即这三个概念的强弱程度为：可导>连续>有界.本回答被提问者采纳

Answer 3