什么是凹函数？

Question

如题所述

Answer 1

凹函数以前称为凸函数，有上凸函数下凸函数之分，目前也有上凹函数与下凹函数之分
（1）比如f(x)=x^2图形上可见：弧度向下凹称下凹函数（或称下凸函数），其上任意两点（x1,f(x1)）,(x2,f(x2))连线中点坐标为（(x1+x2)/2,(f(x1)+f(x2)）/2) 而(x1+x2)/2点对应的函数值为f((x1+x2)/2),显而易见这两点有f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2)）/2这个不等式当且仅当x1=x2时等号成立满足这个不等式即为下凹函数，或者说下凹函数满足这个不等式 （简单记忆为 下凹函数满足函数值小于等于平均值）
（2）比如f(x)=-x^2图形上可见：弧度向上凹称上凹函数（或称上凸函数），其他分析结论与（1）中刚好相反，此处省略叙述
（3）对于诸如f(x)=SINx这样的函数[0,π]为上凹（上凸）函数[π,2π]为下凹（凸）函数…………
所以凹函数针对的是一个函数的某段区间或者整个区间具有的函数本身性质