简谐运动公式的推导

Question

单摆周期公式的推导

Answer 1

记绳长L，
记单摆小球离开平衡位置水平距离为x时绳子和竖直方向的夹角为θ，
那么其在小角度摆动的时候受的外力水平分量为-mgsinθ≈-mgθ=-mgx/L
则根据牛顿第二定律（动量随时间的改变等于外力），

m(d^x/dt^2)=-mgx/L
化简为d^x/dt^2+(g/L)x=0
通解为x=Asin(kt)
其中k=sqrt(g/L)
则周期为T=2π/k=2πsqrt(L/g)本回答被网友采纳

Answer 2

定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：
若：
将R记为匀速圆周运动的半径，即：简谐运动的振幅；
将ω记为匀速圆周运动的角速度，即：简谐运动的圆频率，则：
；
将φ记为
t=0
时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），即：简谐运动的初相位。
则，在t时刻：
简谐运动的位移x=Rcos（ωt+φ）；
简谐运动的速度v=-ωRsin（ωt+φ）；
简谐运动的加速度a=-ω2Rcos（ωt+φ），上述三式即为简谐运动的方程。
根据简谐运动的定义，在右图的示意图中，我们可以清晰的看出上面各个概念在途中的表示。O点为圆心，也为简谐运动的平衡位置。
对位移的推导使用三角函数的有关知识（ωt+φ）即角度,运用三角函数便求出了O点与结束位置的距离，即位移。（此图中位移为负数，即设定左边方向为正方向）所以得出方程x=Rcos（ωt+φ）。
因为速度即为
，运用微积分的知识对位移方程进行微分，便可得到导数
=-ωRsin（ωt+φ），即v=-ωRsin（ωt+φ）。
同理，加速度为
，也可以写为
（二次导数），于是我们再次对速度方程进行微分，得到二次导数
=-ω2Rcos（ωt+φ），即a=-ω2Rcos（ωt+φ）。
说明
1、这个运动是假设在没有能量损失引至阻力的情况而发生。
2、做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置。
右图是用微分方程法对简谐运动的物理过程的详细推导，其中的表达式都用严格的公式给出：