设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0？

Question

设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f'(ξ)=f(ξ)？

Answer 1

详细过程如图，希望能帮到你解决问题

希望写的很清楚

追答

拍个清楚的

Answer 2

令g(x)=e^x*f(x)，则g(x)在[a,b]上连续且在(a,b)上可导
因为g(a)=g(b)=0，所以根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得g'(ξ)=0
e^ξ*f(ξ)+e^ξ*f'(ξ)=0
f(ξ)+f'(ξ)=0
证毕

Answer 3

利用柯西中值定理证明。
设g(x)=lnx，则根据条件可知：
f(x)，g(x)在(a,b)上满足柯西中值定理条件，
∴在(a,b)上存在ξ，使得：
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)
即：[f(b)-f(a)]/ln(b/a)=f'(ξ)/(1/ξ)
移项整理即得：f(b)-f(a)=ξf'(ξ)ln(b/a)