秩-零化度定理是一个关于线性代数中的基本概念，它在有限维和无限维空间中都有广泛的应用。对于一个元素在域F中的矩阵A，其秩（rank）表示非零行或非零列的个数，而零化度（nullity）则代表矩阵的零空间维度。有这样一个公式:
rank A + nullity A = n
对于线性变换T: V→ W，其中V和W是线性空间，T的秩定义为T作用下的像（im T）的维度，零化度则是核（ker T）的维度。这个关系同样成立:
dim (im T) + dim (ker T) = dim V
这个定理的证明涉及线性空间的基和同构理论。当V是有限维的，设dim V = n，对于线性变换T，其零空间ker T是一个子空间。选择ker T的一个基，通过基扩充定理，可以扩展为V的完整基。记这些向量为，它们张成的子空间H与ker T的直和构成V:
dim (H) + dim (ker T) = dim V
接着，考虑T在H上的限制，它将H映射到im T，构成一个双射。通过证明这个限制变换的单射性和满射性，我们可以得到dim (H) = dim (im T)。因此，秩-零化度定理在所有这些情况下都成立，无论空间V和域F的维度如何。
在线性代数中，秩-零化度定理给出了一个线性变换或一个矩阵的秩(rank)和零化度(nullity) 之间的关系。