高等数学：一点的一阶导数存在，在该点邻域内是否连续？？？请高手来回答

Question

高等数学：函数在一点的一阶导数存在，那么在该点邻域内是否连续？？？请高手来回答

按照定义应该是这样。。但是还有个狄利克雷函数。。。我现在很模糊，，求解释！！
看清楚。。题目

Answer 1

一点的一阶导数存在，只能保证在这一点连续，在领域内不一定连续

取f(x)=x²D(x)，其中D(x)为狄利克雷函数
f′(0)=lim(f(x)-f(0))/(x-0) (x→0)
=lim xD(x) =0
0处一阶导数存在，
但在其他点上都不连续追问

这样啊。
那函数在一点x0二阶导数存在
是不是这个点x0的邻域连续？？是不是在这个点的邻域一阶导数连续？？

追答

一点x0上二阶导数存在，要求一阶导数在x0邻域内存在并在x0出可导
由于一阶导数在x0邻域内存在，所以在该邻域里原函数连续
但一阶导数不一定连续

追问

你说 x0上二阶导数存在，要求一阶导数在x0邻域内存在并在x0出可导

那x0的一阶导数存在，是不是要求函数f（x）在x0的邻域内存在并在x0处连续呢？

追答

你从定义看吧，

右边有意义必须要求f'(x)在x0邻域里是有意义的，不然极限号里的东西就没有定义了

x0的一阶导数存在，由导数的定义f(x)在x0的邻域里肯定是存在的，不然没法求导，而该点可导可以推出该点连续

追问

恩，该点连续但是邻域不一定连续对吧？？
这个一点连续和邻域连续真的不太好想

追答

对的，该点连续但是邻域不一定连续。
这些极限、导数、连续之类的东西是比较麻烦，很多看起来显然的东西不一定对，建议你多去找一些经典的例子看一看，比如不连续的导函数，处处不可导的连续函数等等。

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