如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N

Question

如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值

Answer 1

解答：解：（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，
-1-b+c=0
-4+2b+c=3
解得，b=2，c=3
故抛物线为y=-x²+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得
-k+n=0
2k+n=3
解得，k=1，n=1
故直线AC为y=x+1；

（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=-1/5 x+21/5 ，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-1/5 ×3+21/5=18/5 ；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x-1）
由F在抛物线上
∴x-1=-x²+2x+3
解得x=（1-√17）/2 或x=（1+√17）/2
∴E（（1-√17）/2，﹙3-√17﹚/2）或（﹙1+√17﹚/2 ，﹙3+√17﹚/2）
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（﹙1-√17﹚/2，﹙3-√17﹚/2）或（（1+√17）/2， ﹙3+√17﹚/2）；

（4）方法一：
如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
=1/2 PQ•AG
=1/2（-x²+x+2）×3
=-3/2（x-1/2）²+27/8
∴面积的最大值为27/8．

方法二：
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
=1/2（x+1）（-x²+2x+3）+1/2（-x²+2x+3+3）（2-x）-1/2×3×3
=-3/2 x²+3/2 x+3
=-3/2（x-1/2）²+27/8
∴△APC的面积的最大值为27/8．

Answer 2

带入A，C坐标到抛物线：
-1-b+c=0
-4+2b+c =3
b=2， c=3, 抛物线y=-x^2 +2x + 3
直线有两点更简单了 根据A坐标，y=k(x+1), 带入C坐标y=x+1
D (1, 4), N(0, 3)
MN+MD如果构成三角形，肯定大于ND，但是如果M同ND共线，并且在线段ND上，那就最小了，当然由于M横坐标比N和D都大，这个假设不可能
由于M在直线x=3上面，所以考查D关于x=3的对称点D'(5, 4), 连接ND‘交于x=3的点就是取得最小值的M点。
B点坐标可以求出，E（m,m+1）的话，EF方程x=m，求出x=m与抛物线焦点，然后判断BD长度和EF长度，算出m值，有解的话就可以，没的话就不能。
P点坐标可以设为(n, -n^2+2n+3)，求出P到AC的最大距离就可以得到最大面积。

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/488005662.html

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Answer 3

(1)将两点代入，b=2，c=3，y=-x2+2x+3
AC：y=x+1
(2)D(1,4) N(0,3)
又MN+MD的值最小
则做点D关于直线x=3的对称点D2(5,4)
则直线ND2：y=1/5x+3
所以此时M在直线上，m=18/5
(3)可知B(1,2)则BD=2
设E(Xe,Xe+1),F(Xe,-Xe2+2Xe+3)
若为平行四边形则EF=BD=2
所以 Xe+1-(-Xe2+2Xe+3)=2
或者 Xe+1-(-Xe2+2Xe+3)=-2（注意这里点E可能在对称轴两侧）
解两个方程，得3个解 分别为 1加减根号17 除以2 和 0（1被舍去）
(4)和第三问设的一样 变成
设P（X,-X2+2X+3） Q(X,X+1)
S△APC=PQx3x1/2=PQx1.5
即求PQ最大值
,-X2+2X+3-(X+1)的最大值（因为P一定在Q上方）
配方得 -(X2-1/2)2+9/4
所以最大为 X=0.5
此时 PQ=2.25
S△APC=3.375

Answer 4

解答：解：（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3）得，
-1-b+c=0
-4+2b+c=3
解得，b=2，c=3
故抛物线为y=-x²+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A（-1，0）及C（2，3）得
-k+n=0
2k+n=3
解得，k=1，n=1
故直线AC为y=x+1；

（2）如图1，作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直线DN′的函数关系式为y=-1/5 x+21/5 ，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-1/5 ×3+21/5=18/5 ；

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵点E在直线AC上，
设E（x，x+1），
①如图2，当点E在线段AC上时，点F在点E上方，
则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，
则F（x，x-1）
由F在抛物线上
∴x-1=-x²+2x+3
解得x=（1-√17）/2 或x=（1+√17）/2
∴E（（1-√17）/2，﹙3-√17﹚/2）或（﹙1+√17﹚/2 ，﹙3+√17﹚/2）
综上，满足条件的点E的坐标为（0，1）、（﹙1-√17﹚/2，﹙3-√17﹚/2）或（（1+√17）/2， ﹙3+√17﹚/2）；

（4）方法一：
如图3，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，
设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ
=1/2 PQ•AG
=1/2（-x²+x+2）×3
=-3/2（x-1/2）²+27/8
∴面积的最大值为27/8．

方法二：
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G，如图3，
设Q（x，x+1），则P（x，-x²+2x+3）
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC
=1/2（x+1）（-x²+2x+3）+1/2（-x²+2x+3+3）（2-x）-1/2×3×3
=-3/2 x²+3/2 x+3
=-3/2（x-1/2）²+27/8
∴△APC的面积的最大值为27/8．