∫e^(-x^2)dx怎么求 ？？用的是什么方法？？

Question

如题所述

Answer 1

采用洛必达法则，解题过程如下：

扩展资料

求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

Answer 2

要计算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx 可以通过计算二重积分:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy.
那个D表示是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.
下面计算这个二重积分:
解:在极坐标系中,闭区域D可表示为:0≤r≤a,0≤θ≤2π
∴∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫∫<D>e^(-r^2)*rdrdθ
=∫<0,2π>[∫<0,a>e^(-r^2)*rdr]dθ
=-(1/2)e^(-a^2)∫<0,2π>dθ
=π(1-e^(-a^2))

下面计算∫<0，+∞>e^(-x^2)dx ;
设D1={(x,y)|x^2+y^2≤R^2,x≥0,y≥0}.
D2={(x,y)|x^2+y^2≤2R^2,x≥0,y≥0}.
S={(x.y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
可以画出D1,D2,S的图.
显然D1包含于S包含于D2.由于e^(-x^2-y^2)>0,从而在这些闭区域上的二重积分之间有不等式:
∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy<∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy.
∵∫∫<S>e^(-x^2-y^2)dxdy=∫<0,R>e^(-x^2)dx*=∫<0,R>e^(-y^2)dy
=(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2.
又应用上面得到的结果:∫∫<D>e^(-x^2-y^2)dxdy=π(1-e^(-a^2))
∴∫∫<D1>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-R^2)).
∴∫∫<D2>e^(-x^2-y^2)dxdy=(π/4)(1-e^(-2R^2)).
于是上面的不等式可写成:
(π/4)(1-e^(-R^2))<(∫<0,R>e^(-x^2)dx)^2<(π/4)(1-e^(-2R^2)).
令R→+∞,上式两端趋于同一极限π/4,从而
∫<0，+∞>e^(-x^2)dx =sqrt(π)/2.

其中:sqrt(π)表示根号π.追问

本来以为你做错了 结果偶然一翻书看见原题了 你是对的 谢谢你了 高手！！！！

本回答被提问者采纳

Answer 3

无法表示为初等函数，证明见图

追问

其实，这个是可以做出来的，感谢你的回答，偶然看见了原题 说是用极坐标的方法可以做出来 你再试试吧 多谢你的帮助！！！

Answer 4

这个积分是积不出来的，它的结果不是常规的函数追问

多谢你的帮助 你再翻书看看 好像可以用极坐标的方法的 书上的原题。我看的是浙江大学吴肇基的大专院校的书本，你再试试。