函数的奇偶性与其导函数的奇偶性有什么关系

Question

如题所述

Answer 1

函数的奇偶性与其导函数的奇偶性有一定的关系。
若函数f(x)是一个偶函数，则有以下关系：
1. 当x = 0时，f'(x) = 0。偶函数在自身对称的轴上，即x = 0处的导数为零，没有斜率。
2. 当x ≠ 0时，若f'(x)存在，那么f'(x)的奇偶性与f(x)相同。偶函数在x ≠ 0的区间上，导数的奇偶性与原函数相同。
若函数f(x)是一个奇函数，则有以下关系：
1. 当x = 0时，f'(x) 可能存在也可能不存在。奇函数在自身对称的轴上，即x = 0处的导数可能存在也可能不存在。
2. 当x ≠ 0时，若f'(x)存在，那么f'(x)的奇偶性与f(x)相反。奇函数在x ≠ 0的区间上，导数的奇偶性与原函数相反。
需要注意的是，这些关系适用于求导时遵循传统的求导规则。在特殊的情况下，如定义在离散点上的函数，导函数的奇偶性可能无法明确定义。
总之，奇偶函数的导函数的奇偶性可能与原函数的奇偶性相同（偶函数）或相反（奇函数）。但在自变量为零的点上，导函数的性质会有一定的变化。

Answer 2

①如果一个函数是以T为周期的周期函数，那么它的导函数（当然是在可导的前提下）也以T为周期的周期函数；

②如果一个函数是奇（偶）函数，那么它的导函数（当然是在可导的前提下）是偶（奇）函数；

③如果一个函数f(x)是以T为周期的周期函数，那么它的原函数（当然是在f(x)连续的前提下）减去④如果一个函数是奇函数，那么它的原函数（当然是在f(x)连续的前提下）一定是一个偶函数；

④如果一个函数f(x)是一个非零的偶函数，那么在它的所有的原函数（当然是在f(x)连读的前提下）中只有一个是奇函数（这一个奇函数就是∫[0→x]f(x)dt），其他的原函数都是非奇非偶函数（实际上他就是前面那个奇函数，加上一个非零常数

证明①：因为已知f(x+T)=f(x)，所以在等号两边对x求导可得：f'(x+T)=f'(x)，即为所证。

证明②：因为已知f(-x)=-（或+）f(x)，所以在等号两边对x求导可得：

f'(-x)•(-1)=-（或+）f'(x)，即为所证。

Answer 3

数的奇偶性：在函数y=f(x)中，如果对于函数定义域内的任意一个x.
（1）若都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数；
（2）若都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
如果函数y=f(x)在某个区间上是奇函数或者偶函数，那么称函数y=f(x)在该区间上具有奇偶性。

Answer 4

没有必然联系，但是函数是偶函数的话，那么在x=0处，导函数等于0，在x=0是，函数是一个极值

Answer 5

函数是奇(偶)函数,导函数是偶(奇)函数
导函数是奇(偶)函数,函数是偶(不一定是奇)函数