大一高数题：设f(x)在开区间(a,b)内连续 且f(a+0)与f(b-0)为有限值,证明f(x)在（a,b）内有界.

Question

设f(x)在开区间(a,b)内连续 且f(a+0)与f(b-0)为有限值,证明f(x)在（a,b）内有界.
这一题该怎么证呀，求大神指点！

Answer 1

解：

设g(x)=f(x)*e^x,g'(x)=f'(x)*e^x+f(x)*e^x=[f'(x)+f(x)]*e^x

则g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导

且g(a)=f(a)*e^a=0,g(b)=f(b)*e^b=0,

由拉格朗日中值定理知,

存在ξ,ξ∈(a,b),使得g'(ξ)=0.

即[f'(ξ)+f(ξ)]*e^ξ=0,而e^ξ>0

所以f'(ξ)+f(ξ)=0。

扩展资料

举例

设函数f在（a,b)内连续,且f(a+0)=f(b-0)=+&.证明：f在(a,b)内能取到最小值：

区间（a,b）分解成(a,x1],[x1,x2],[x2,b）

在（a,x1]上,设x1点的值为f（x1）,由f(a+0)=+&,根据正无穷的定义,可证存在x3属于（a,x1],

xf(x1) ,{注意到f在（a,b）上连续,所以f（x1）不是无穷大}

同理可证存在x4属于【x2,b）,当x>x2时,使f（x）>f(x2)

而在【x3,x4】上是闭区域且连续,所以存在最小值m,而x1,x2均属于该区间,所以f（x1）

m,f（x2）》m

综合上述：在（a,x3],f（x）>f(x1)》m,

在【x3,x4】,f（x）的最小值等于m

在【x4,b）,f（x）>f（x2）》m

所以f在(a,b)内能取到最小值。

Answer 2

提示：
①f(b-0)为有限值，用性质【如果有极限，则在取极限的附近有界】
得到在［b-c，b）有界L。
②同理，f(a+0)为有限值，则在（a，a+d]有界M。
③f(x)在开区间(a，b)内连续，则在闭区间[a+d，b-c]连续，
则在该闭区间有界N。
取K=max{L，M，N}即可得证。追问

那这里的K就是最终的界值咯？

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