单个点导数的正负为什么不能判断函数在这一点领域内的单调性

如题所述

推荐答案 2019-12-08

原函数的值反映的是导函数在一个区间内的积分。正常情况下，一个点取导为负，那么点周围的点导数也很可能是负的，这样导函数在这个区间内的左右两部分积分都会是一个负值，原函数的值在这个区间左半边会减少，右半边也是，这样函数在这个点附近的区域就是单调的；
但是如果这个点周围的导数有正有负，积分出来的值，有可能左边小区间正右边是负，左边是正右边也是正等等，这样原函数值在这个小区间到底怎样变化，仅凭单个点的导数值就难以判断了。
产生这种疑惑是很自然的，可能是对导数还没有清晰的理解。导数不一定要求就必须连续。不连续的导数很容易产生不符合单调性的原函数。

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其他回答

第1个回答推荐于2018-04-26

解析：

(1) “单个点的导数”的含义：
f(x)的图像在该点的切线的斜率

(2) “函数的单调性”的含义：
f(x)的图像在某一区间上的“走向”

从定义域的角度看，前者说的是单个点，后者说的是区间，显然不能混为一谈本回答被提问者和网友采纳

第2个回答 2018-04-26

考虑反例怎么举
排除了：1一定具有保号性的连续函数 2不能作为导数的具有第一类间断点的函数
那么：反例中只剩下具有第二类间断点的函数来作为导函数
第二类间断点包括：无穷间断点震荡间断点
震荡间断点：原函数=1/2x+x∧2sin1/x （x非0）=0（x为0）
导函数=1/2（x为0）1/2+2xsinx-cos1/x（x非0）
综上：0点导数存在且为正数但0点邻域无论取多小总有无穷次的正负震荡不能保证导数始终大于零
其实是应用了类似于高阶无穷小的角度看待邻域，总有更小的邻域

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