####证明过程初中生就可以理解的方法####
太难了啊,想的累,没心情了哟,明天看看吧,
答案应该是1/4没错的.当X1=X2=1/2,X3=X4=...=Xn=0,就可以了,证明比较困难吧.改天再想吧,脑子不行列,楼主选别人好了.我自己知道不好.退出,以后有想到再告诉你好了.^_^
证明:
注解:a^x表示a的x次方.
两两分组,设X1+X2=a1,X3+X4=a2,.....,X(n-1)+Xn=am
则a1+a2+....+am=1
(X1-X2)^2>=0=======>
X1^2+2X1*X2+X2^2>=4X1*X2============>
(X1+X2)^2>=4X1*X2==========>
X1*X2<=(X1+X2)^2/4=a1^2/4
同理
X3*X4<=a2^2/4
.
.
.
X(n-1)*Xn<=am^2/4
将以上各式叠加
X1*X2+X3*X4+...+X(n-1)*Xn<=(a1^2+a2^2+...am^2)/4
因为我们知道因为X1,X2,...Xn>=0,所以有
0<=a1,a2,...am=<1
设0=<x<=1
因为
1>=x
同时乘以x,
x>=x^2
因此a1>=a1^2,a2>=a2^2,...,am>=am^2,
叠加以上的不等式,同时除以4,
就有(a1^2+a2^2+...+am^2)/4<=(a1+a2+...+am)/4=1/4
所以X1*X2+X3*X4+....+X(n-1)*Xn<=1/4
到这里我们证明了最大值不会大于1/4,但没有证明有1/4最大值,但如果能举出例子来就可以了,很简单,让X1=X2=1/2,其他都等于0,那么就有最大值1/4,
所以命题成立,问题得证.
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