二次型的惯性指数与矩阵中的什么有关

Question

如题所述

Answer 1

正负惯性指数之和等于矩阵的秩用矩阵形式表示二次型的方法：

二次型f(x,y,z)=ax²+by²+cz²+dxy+exz+fyz，用矩阵表示的时候，矩阵的元素与二次型系数的对应关系为：A11=a，A22=b，A33=c，A12=A21=d/2，A13=A31=e/2，A23=A32=f/2。

二次型的定义：

设f(x_1,x_2,...x_n)=∑a_ij * x_i*x_j 这里是系数， 满足aij=aji，则称f为n元二次型。

在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负数构成的对角矩阵。如果设正数的个数是p，负数的个数是q，那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。

数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数，其中正数的个数p称为正惯性指数， 负数的个数q称为负惯性指数， p-q叫做符号差。据此可以得出:合同关系将所有的对称矩阵分为 (n+2)*(n+1)/2个等价类。