设F(X)的一个原函数为（㏑X）^x, 则∫xf＂(x)dx=?

第1个回答 2010-12-20

原式=∫xf”(x)dx=∫xd(f'(x))=xf'(x)-∫f'(x)dx=xf'(x)-f(x)
题设，F(x) 的一个原函数为 (lnx)^x，首先来看看F(x)的求法
设y=(lnx)^x ，则要求F(x)=y'
将 y=(lnx)^x 变形为 lny=xln(lnx)，再两边求导
y'/y = ln(lnx)+x * (1/lnx) * (1/x) = ln(lnx) + 1/lnx
y' = y * [ln(lnx) + 1/lnx] = (lnx)^x * [ln(lnx) + 1/lnx] = x (lnx)ln(lnx) + x
f(x) = y'' = (lnx)ln(lnx) + x*(1/x)*ln(lnx) + x (lnx)*(1/lnx)*(1/x) + 1= (lnx)ln(lnx) + ln(lnx) + 2
f'(x) = y''' = ln(lnx)/x + 1/x + 1/(xlnx)
原式=xf'(x)-f(x)=ln(lnx)+1+1/lnx - (lnx)ln(lnx)-ln(lnx)-2 = 1/lnx - (lnx)ln(lnx) -1

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.若f(x)=的一个原函数为x ㏑x, 求∫xf(x)dx答：∫xf'(x)dx= ∫xdf(x)=xf(x)-∫f(x)dx=xf(x)-F(x)+c

x㏑x是f(x)的原函数,则∫xf(x)dx=?答：.

已知x㏑x为f(x)的一个原函数,则∫f'(x∧½)dx=答：设t=√x ∫f'(t)dt²＝2∫tf'(t)dt＝2tf(t)－2f(t)＝2(√x－1)(lnx+1)

设f(㏑x)=[㏑(1+x)]/x,求∫f(x)dx答：∫f(x)dx let x=lny ∫f(x)dx =∫f(lny)dlny =∫[㏑(1+y)]/y^2 dy =-∫ ㏑(1+y) d(1/y)=-㏑(1+y) /y + ∫ 1/[y(1+y)] dx = -㏑(1+y)/y +lny -ln|1+y|+C = -㏑(1+e^x)/e^x +x -ln|1+e^x|+C ...