设等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,已知bn>0(n∈N*)，a1=b1=1,a2+b3=a3,S5=5(T3+b2)

Question

1）求数列{an}和{bn}的通项公式
2）求和：b1/T1T2+b1/T2T3+…+bn/TnTn+1

谢谢！

Answer 1

解：
1、
设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}公比为q。
a2+b3=a3 b3=d b1q²=d b1=1代入，得d=q²
S5=5(T3+b2) 5a1+10d=5(b1+b1q+b1q²+b1q)
a1=1 b1=1 d=q²代入，整理，得
q²-2q=0
q(q-2)=0
q=0(等比数列公比不等于0，舍去)或q=2
d=q²=2²=4
an=a1+(n-1)d=1+4(n-1)=4n-3
n=1时，a1=4-3=1，同样满足。
bn=b1q^(n-1)=2^(n-1)
n=1时，b1=2^0=1，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=4n-3；数列{bn}的通项公式为bn=2^(n-1)。
2、
Tn=b1(q^n-1)/(q-1)=2^n-1 Tn+1=2^(n+1) -1
1/Tn-1/T(n+1)=1/(2^n-1)-1/[2^(n+1)-1]
=[2^(n+1)-1-2^n+1]/[(2^n-1)(2^(n+1)-1)]
=2^n/[(2^n-1)(2^(n+1)-1)]
=2×bn/(TnTn+1)
bn/(TnTn+1)=(1/2)[1/Tn-1/T(n+1)]
b1/(T1T2)+b2/(T2T3)+...+bn/[TnT(n+1)]
=(1/2)[1/T1-1/T2+1/T2-1/T3+...+1/Tn-1/T(n+1)]
=(1/2)[1/T1-1/T(n+1)]
=(1/2)[1-1/[2^(n+1)-1]]
=(1/2)[2^(n+1)-2]/[2^(n+1)-1]
=(2^n-1)/[2^(n+1)-1]

Answer 2

(1)
解：设等差数列公差为d，等比数列公比为q
由a2+b3=a3 得a1+d+b1q^2=a1+2d 代入数据得q^2=d (1)
由S5=5(T3+b2)得5(a1+a1+4d)=5(b1+2b2+b3) (2)
a2+b3=a3 所以b3=d 代入（2）式得d=2q (3)
联合（1）（3）得q=2或q=0 (舍去) d=4
所以an=4n-3 bn=2^(n-1)
(2)
由等比数列求和公式得Tn=(-1)+2^n
所以bn/TnTn+1=2^(n-1)/((-1+2^n)(-1+2^(n+1)))
=0.5*(-1+2^n)-0.5*(-1+2^(n+1))
利用裂项相消得
b1/T1T2+b1/T2T3+…+bn/TnTn+1=0.5(1-1/(-1+2^(n+1)))

Answer 3

解：1)设an=a1+(n-1)d=1+(n-1)d，Sn=na1+n(n-1)d/2=n+n(n-1)d/2
bn=b1*q^(n-1)=q^(n-1)，Tn=b1*(1-q^n)/(1-q)=(1-q^n)/(1-q)
a2+b3=a3得b3=q^(3-1)=q^2=a3-a2=d也即q^2=d ①
S5=5(T3+b2)得5+10d=5[(1-q^3)/(1-q)+q^(2-1)]
也即1+2d=1+2q+q^2 ②
将①代入②得
q^2-2q=0
解得q=2 （q=0舍去）
d=q^2=4
故an=1+(n-1)*4=4n-3，
bn=2^(n-1)
2)bn/(TnTn+1)=q^(n-1)/{(1-q^n)/(1-q)*[1-q^(n+1)]/(1-q)}
=(1-q)^2*q^(n-1)/{(1-q^n)*[1-q^(n+1)]}
=(1-q)^2*q^(n-1)*1/(1-q)*{1/(1-q^n)-q/[1-q^(n+1)]}
=(1-q)q^(n-1)*{1/(1-q^n)-q/[1-q^(n+1)]}
=(1-q)q^(n-1)/(1-q^n)-(1-q)q^n/[1-q^(n+1)]
=(1-q)*{q^(n-1)/(1-q^n)-q^n/[1-q^(n+1)]}
故
b1/T1T2+b2/T2T3+…+bn/(TnTn+1)
=(1-q)*{q^(1-1)/(1-q^1)-q^1/[1-q^(1+1)]+q^(2-1)/(1-q^2)-q^2/[1-q^(2+1)]+……+q^(n-1)/(1-q^n)-q^n/[1-q^(n+1)]} 错位相消！
=(1-q)*{1/(1-q)-q^n/[1-q^(n+1)]}
=1-(1-q)q^n/[1-q^(n+1)]
其中，q=2
故
b1/T1T2+b2/T2T3+…+bn/(TnTn+1)=1-(1-2)*2^n/[1-2^(n+1)]=1-2^n/[2^(n+1)-1]
=(2^n-1)/[2^(n+1)-1]
不明白请追问。

Answer 4

解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
则由等差数列{an}通项:an=a1+(n-1)d
前n项和:Sn=na1+[n(n-1)/2]d
等比数列{bn}通项:an=a1q^(n-1)
前项和:Sn=a1(q^n-1)/(q-1)
得：a1=b1=1
a2+b3=a3→1+d+q^2=1+2d,即d=q^2①
S5=5(T3+b2)→5+10d=5*((1-q^3)/(1-q)+q)②
①②得：-q^3+3q^2-2q=0即-q*(q^2-3q+2)=0解得：q=0（舍去）q=1（舍去）,q=2所以d=4
所以：an=4n-3,bn=2^(n-1)