对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g（x）， 规定：函数 (1) 若函数f(x)=-2x+3,x≥1；，g(x)=x-2,x∈R，写出函数h(x)的解析式； (2) 求问题（1）中函数h(x)的最大值； (3) 若g(x)=f(x+α)，其中α是常数，且α∈〔0，π〕，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)，及一个α的值，使得h(x)=cos2x，并予以证明. 分析：（1）可利用数轴将定义域分为x≥1和x＜1两部分，分别求出所对应的解析式；（2）分别求出x≥1和x＜1时，h(x)的取值范围，比较得出函数的最大值；（3）由定义域均为R，可知h(x)= f(x)·f(x+α)=cos2α.由此可构造f(x). 解：（1） （2）当x≥1时，h(x)=--2x2+7x-6=-2(x-)2+,∴h(x)≤. 当x＜1时，h(x) ＜-1. ∴当x=时，h(x)取得最大值. (3)方法一：令f(x)=sinx+cosx,x∈R,α=,则 g(x)=f(x+α)=sin(x+)+cos(x+)=cosx-sinx,x∈R. ∴h(x)= f(x)·g(x)= f(x)·f(x+α) =(cosx+sinx)(cosx-sinx) =cos2x. 方法二：令f(x)=1+sinx,x∈R,α=π， 则g(x)=f(x+α)=1+sin(x+π)=1-sinx. ∴h(x)= f(x)·g(x)=f(x)·f(x+α)=(1+sinx)(1-sinx)=1-2sin2x=cos2x. 探究：求分段函数的解析式，应注意分别求出各区间内的函数关系，再组合在一起，求分段函数的最值，也应先分段求，再合并求出最值. 变化探究 【变化题】分析 （2004年春季上海，21）已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正常数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等. （1）求a的值； （2）求函数f(x)+ g(x)的单调递增区间； （3）若n为正整数，证明 解：（1）由题意，f(0)=g(0),|a|=1. 又a＞0, ∴a=1. (2) f(x)+ g(x)=|x-1|+x2+2x+1. 当x≥1时，f(x)+ g(x)= x2+3x，在〔1，+∞〕上单调递增； 当x＜1时，f(x)+ g(x)= x2+x+2，在〔，1〕上单调递增； 综上，结合f(x)+ g(x)的图象知f(x)+ g(x)的单调递增区间是〔-，+∞〕. 证明：（3）设cn=10f(n)·（）g(n)，考察数列{cn}的变化规律： 解不等式＜1，由cn＞0，上式化为10·（）2n+3＜1. 解得n＞-≈3.7. ∵n∈N,得n≥4. 于是c1≤c2≤c3≤c4,而c4＞c5＞c6＞…. ∴10f(n)·（）g(n) ≤10f(4)·（）g(4)=103·（）25＜4. 案例2 设定义在〔-2，2〕上的偶函数在区间〔0，2〕上单调递减，若f(1-m) ＜f(m),求实数m的取值范围. 分析：本题综合考查对函数奇偶性和单调性和理解. 由函数的定义域知（1-m）∈〔-2，2〕，m∈〔-2，2〕，但是（1-m）和m到底是在〔-2，0〕、〔0，2〕的哪个区域内不十分清楚，若就此讨论，将十分复杂.如果注意到性质“如果是偶函数，那么f(-x)=f(x)=f(|m|)”，问题解法就可明了. 解：∵f(x)是偶函数， ∴f(-x)= f(x)= f(|x|)， f(1-m)＜f(m) f(|1-m|)＜f(|m|). 又当x∈[0，2]时，f(x)单调递减， 探究：本题应用了偶函数的一个简单的性质“开口响上时，距离对称轴越近，函数值越小；距离对称轴越远，函数值越大”.从而避免了一场“大规模”的讨论，值得深思. 变式探究 【变式题】分析 已知函数f(x)是偶函数，其定义域为（-1，1），且在（0，1）上为增函数，若f(a-2)-f(4-a2)＜0，试求a的取值范围. 解：利用函数图象开口向上时，离对称轴越近函数值越小这一性质， 问题转化为 解得a的取值范围为（，2）∪（2，）. 案例3 →（文）（2005年高考浙江卷，文20）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x. （1）求函数g(x)的解析式； （2）解不等式g(x)≥f(x)-| x-1|； （3）若h(x)= g(x)-λf(x)+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围. 分析：（1）利用对称性求解； （2）解含绝对值的不等式时，应分为x-1≥0和x-1＜0两种情况讨论； （3）注意对参数λ的讨论. 解：（1）设函数y=f(x)的图象上任一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y）， 则即 ∵点Q（x0，y0）在函数y=f(x)的图象上， ∴-y=x2-2x，即y=-x2+2x. ∴g(x)=-x2+2x，x∈R. （2）由g(x)≥f(x)-| x-1|，可得-x2+2x≥x2+2x-| x-1|，即2x2-| x-1|≤0. 当x≥1时，2x2-x+1≤0，此时不等式无解； 当x＜1时，2x2+x-1≤0，∴-1≤x≤. ∴原不等式的解集为[-1，]. （3）h(x)=-（1+λ）x2+2（1-λ）x+1. ①当λ=-1时，h(x)=4x+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1满足题意. ②当λ≠-1时，对称轴方程为x=. 当λ＜-1时，≤-1，解得λ＜-1. 当λ＞-1时，≥1，解得-1＜λ≤0. 综上所述，λ∈（-∞，0]. 探究：（1）f(x)与g(x)的图象关于原点对称，也可直接由g(x)=- f(-x)得出g(x)的解析式.（2）对于含参的二次函数的单调性，要注意对参数和对称轴方程进行讨论. （理）设a∈R，f(x)=（x∈R）是奇函数. （1）求a的值； （2）判断f(x)的单调性，并证明你的结论； （3）当k＞0时，解关于x的不等式f-1(x) ＞log2； （4）当n≥3时，比较f(n)与g(n)= 的大小. 分析：（1）若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则有必有f(0)=0，由此可求a； （2）可利用定义法或利用导数法证明函数单调性； （3）先求出f-1(x)，再由函数的单调性解不等式； （4）可用作差法比较大小. 解：（1）∵x∈R且f(x)是奇函数， ∴f(0)=0，即0=.∴a=1. 而当a=1时，f(x)= ，有f(-x)= ==-f(x). ∴f(x)为奇函数.故a=1为所求. （2）f(x)为R上的增函数. 证法一：任取x1、x2∈R且x1＜x2. f(x1)- f(x2)= -=， ∵x1＜x2，∴0＜2x1＜2x2. ∴2x1-2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0. ∴f(x1)- f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2). ∴f(x)为R上的增函数. 证法二：f(x)= 在x∈R上可导， f′(x)= = =＞0. ∴f(x)为R上的增函数. （3）由y=，得 f -1(x)=log2(-1＜x＜1). ∴f -1(x)＞log2 ，即log2＞log2 . -1＜x＜1， ∴ -1＜x＜1， ＞. 解之，得 x＞1-k. ∴当0＜k＜2时，不等式的解集为{x|1-k＜x＜1}； 由k≥2时，不等式的解集为{x|-1＜x＜1}. （4）f(n)- g(n)= -=. ∵2n=（1+1）n=1+n+n(n-1)+…＞n， ∴f(n)＞g(n). 探究：本题属于函数性质的综合应用问题，应注意性质的区别与联系.另外，利用导数判断函数的单调性，是近年来高考的热门问题.知识归纳 一、知识网络 二、知识归纳 (一)函数的基本概念 1．函数是一种特殊的映射f:A→B,必须满足： (1)A、月都是非空数集； (2)集合A中的每一个元素都有象(其象的集合是B的子集)． 2．构成函数的三要素——定义域、值域、对应法则(解析式)中，最重要的是两大独立要素定义域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的．两个函数当且仅当定义域和对应法则都相同时，才是相同的函数，因此，判断两个函数是否为同一个函数，不仅要看函数的表达式化简后是否相同，还要注意定义域、值域是否相同，也可用图象来判断． 3．掌握函数的三种表示法——列表法、解析法和图象法． 若函数在其定义域的不同子集上，对应法则分别不同或用几个不同式子来表示，这种形式的函数叫做分段函数． 4．若y是u的函数，u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，u∈(m，n)，x∈(a，b)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，u的取值范围是g(x)的值域． 5．定义域是函数的灵魂，基本上可分为自然定义域与限定定义域两类： (1)如果只给函数的解析式(不注明定义域)，其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围，称为自然定义域； (2)如果函数受应用条件或附加条件所制约，其定义域称为限定定义域． 定义域经常作为基本条件(或工具)出现在高考试题中，通过函数性质或函数应用来考查，具有隐蔽性，不为人们所注意，即主要求限定定义域．所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点，以先分析定义域来帮助解决问题．求函数的定义域，主要涉及以下几种： ①分式的分母不得为零； ②偶次方根的被开方式，其值非负； ③对数函数的底数a＞0且0且a≠1，真数必须大于零， ④函数y=x0中，x≠0； ⑤y=tanx，x≠kπ+(k∈Z)，y=cotx，x≠kπ(k∈Z)； ⑥对于复合函数求定义域问题，其一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得． 6．求函数的值域是一个较复杂的问题，也是很重要的问题(因为它和求函数的最值紧密相连)，在历届高考试题中经常出现，应引起重视．首先要明确其定义域，由定义域通过对应法则求其值域．常用的求法有： (1)配方法：是求二次函数值域的最基本的方法，如F(x)=af2(x)+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域问题，均可用配方法． (2)反函数法：利用函数和它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域． 形如求函数y=(a≠0)的值域． (3)判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)=0，通过方程有实根，判别式大于等于0，从而求得原函数的值域． 形如求函数y= (a、d不同时为零)的值域．
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