设A，B是两个集合，f：A到B，g：B到A。证明：若gf是A到A的恒等映射，则f是单射，g是满射

Question

如题所述

Answer 1

反证
若f不是单射，则存在a不等于b，且都属于A 满足f(a)=f(b)
因为gf是A到A的恒等映射，
则有 a=gf(a)=gf(b)=b ==>a=b 矛盾
故f是单射

若g不是满射，则存在a∈A，满足对任何b∈B，有g(b)≠a
故gf(a）含于g(B),所以gf(a)≠a
又因为gf是A到A的恒等映射，
则有 a=gf(a) 故矛盾