已知函数fx=alnx+bx在点1,f1处的切线方程为x-2y-2=0。

Question

（1）求a,b的值【这个我求好了，a=1,b=-1/2】(2)当x>1时，f(x)+k/x<0，求实数k的取值范围（3）证明：当n∈N*，且n≥2时，1/2ln2+1/3ln3+...+1/nlnn＞3n^2-n-2/2n^2+2n

Answer 1

已知函数f(x)=alnx+bx(a，b∈R)在点(1，f(1))处的切线方程为x-2y-2=0．
(1)求a，b的值；
(2)当x＞1时，f(x)+k/x＜0恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：当n∈N*，且n≥2时，
1/(2ln2)+1/(3ln3)+….+1/(nlnn)>(3n^2-n-2)/(2n^2+2n)．

(1)解析：∵f(x)=alnx+bx，∴f′(x)=a/x+b．
∵直线x-2y-2=0的斜率为1/2，且过点(1,-1/2)，
∴f(1)=-1/2，f′(1)=1/2
解得a=1，b=-1/2

(2)解析：由(1)得f(x)=lnx-1/2x．
∵当x＞1时，f(x)+k/x＜0恒成立，
则k＜1/2x^2-xlnx．
令g(x)=1/2x^2-xlnx，
g′(x)=x-1-lnx==>g’’(x)=(x-1)/x．
当x＞1时，g’’(x)＞0，∴函数g′(x)在(1,+∞)上单调增，
∵g′(1)=0，∴当x＞1时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1,+∞)上单调增，
∴g(x)＞g(1)=1/2．
∴k<=1/2．

(3)证明：由(2)得，当x＞1时，lnx-1/2x+1/(2x)＜0，可化为xlnx＜(x^2-1)/2，
又xlnx＞0，
∴1/(xlnx)＞2/(x^2-1)=1/(x-1)-1/(x+1)．
∵当n∈N*，且n≥2，
把x=2,3,…n分别代入上面不等式，并相加得，
1/(2ln2)+1/(3ln3)+….+1/(nlnn)>
>(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)….[1/(n-2)-1/n]+[1/(n-1)-1/(n+1)]
=1+1/2-1/n-1/(n+1)=(3n^2-n-2)/(2n^2+2n)

Answer 2

把第三问大于号后面的给清楚好吗？

追问

3n2-n-2是分子，后面那一串是分母

追答

我算了一下，若前面是分母的话，就可以继续，但是是分子，我就无能为力了。
帮不到你了。

追问

好吧，还是谢谢。。

追答

不用，你再看一看，说不定是我的问题。

Answer 3