设fx和gx都在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,fa=ga,且对所有x∈(a,b)有f'(

Question

)<g'(x)，证明fb＜gb

Answer 1

原题是:设f(x)和g(x)都在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=g(a,)且对所有x∈(a,b)有f'(x)<g'(x)。求证 f(b)＜g(b)。
证明:设F(x)=f(x)-g(x)
由已知得 F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导，F(a)=0.
且对所有x∈(a,b)有F'(x)=f'(x)-g'(x)<0
得F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上单减且F(a)=0。
有F(b)=f(b)-g(b)<F(a)=0 即f(b)-g(b)<0
所以 f(b)<g(b)

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